Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.16 - Ex. 91
Sejam e funções tal que para todo , e existem para todo . Mostrar que sempre que .
Passo 1
Quando temos uma composição de funções, como descrito por , que seja exatamente igual a , já temos que saber que uma função é a inversa da outra. Logo, temos que é função inversa de , e vice-versa.
Então pode ser escrita como .
Passo 2
Podemos reescrever, então, da seguinte forma:
Vamos agora derivar ambos os lados da sentença. Usando a regra da cadeia (derivamos de fora pra dentro), vamos ter a seguinte sentença:
Passo 3
Isolamos o termo de um lado da sentença e resultamos em:
Mas já sabemos que equivale a , inversa de . Podemos reescrever a sentença assim:
E, assim, fica provada a tese do enunciado. A sentença vai valer pra pontos em que não se anule, como também já descrito.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)