Seja f(θ) = θ^3 - 2θ + 2 .

  1. Utilize o teorema do valor intermediário para mostrar que f(θ) possui um zero entre -2 e 0 .
  2. Resolva a equação f(θ) = 0 graficamente com um erro de magnitude de no máximo 10^(-4)
  3. Pode-se mostrar que o valor exato da solução no item (b) é

(raiz(19/27) - 1)^(1/3) - (raiz(19/27) + 1)^(1/3)

Passo 1

Resolvendo o item (a):

Primeiramente, precisamos estudar a continuidade da função f ( θ ) .

Devemos notar que por ser formada por um único polinômio, o seu domínio é o conjunto R e não há restrição alguma para a existência de limites. Logo, concluímos que a função é contínua no intervalo [ - 2 ,   0 ] .

Passo 2

Sabendo que a função é contínua, calculamos agora os valores f - 2 e f 0

f ( - 2 )   =   ( - 2 ) 3   -   2 ( - 2 )   +   2

f ( - 2 )   =   - 8   + 4   +   2   =   -   2

f ( 0 )   =   ( 0 ) 3   -   2 ( 0 )   +   2

f ( 0 )   =   2

Passo 3

Sabendo que f - 2   = - 2   e que f 0   =   2 ,

Podemos afirmar, pelo teorema do valor intermediário, que, como a função é continua em [ - 2 ,   0 ] , existe um c   ∈   [ - 2 ,   0 ] , tal que f ( c )   ∈   [ - 2 ,   2 ] .

Portanto, como - 2   <   0   <   2 , f ( x )   possui um zero entre - 2 e 0 .

Passo 4

Resolvendo o item (b):

f ( θ )   =   0

θ 3   -   2 θ   +   2   =   0

θ 3   =   2 θ   -   2  

Obtendo duas funções: g ( θ )   =   θ 3 e h ( θ )   = 2 θ   -   2

Podemos observar o gráfico das duas curvas

Aproximando o gráfico, podemos analisar melhor o ponto de encontro das curvas.

O valor de θ que procuramos é o valor da abscissa na interseção das curvas. Logo, considerando um erro de magnitude 10 - 4 , o valor de   θ para f ( θ )   =   0 está entre - 1,7692924 e - 1,7692923

Passo 5

Utilizando uma calculadora científica para resolver a seguinte expressão

19 27   -   1 1 3   -   19 27   +   1 1 3  

Encontramos o valor - 1,76929235423 . Logo, o resultado observado graficamente está dentro da margem de erro.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados