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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.6 - Ex. 7

Seja A = x , y ∈ R 2   x 4 ≤ y ≤ 1 } .

  1. Calcule o centro de massa de A .
  2. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta y = 2 .

Passo 1

Jogando a região A descrita no plano temos

  1. Para encontrar o centro de massa usaremos as fórmulas:

    2. x c = 1 A ∫ a b x   g x - f ( x )   d x

    y c = 1 2 A ∫ a b g 2 x - f 2 x   d x

    Onde A é a área da região e g e f as funções superior e inferior respectivamente, no intervalo.

    Então vamos primeiramente calcular a área, para isso precisamos achar a intersecção das duas funções

    x 4 = 1

    x = ± 1

    E temos

    A = ∫ - 1 1 1 - x 4   d x = x - x 5 5 - 1 1

    = 1 - 1 5 - - 1 + 1 5 = 2 - 2 5

    A = 8 5

    Passo 2

    Calculando então x c

    x c = 5 8 ∫ - 1 1 x   1 - x 4   d x = 5 8 x 2 2 - x 6 6 - 1 1

    = 5 8 1 2 - 1 6 - 1 2 - 1 6 = 0

    E agora y c

    y c = 5 16 ∫ - 1 1 1 2 - x 8   d x = 5 16 x - x 9 9 - 1 1

    = 5 16 1 - 1 9 - - 1 + 1 9 = 5 16 2 - 2 9

    = 5 16 ⋅ 16 9 = 5 9

    Então temos o centro

    0 , 5 9

    Passo 3

  2. Utilizando o método da questão 4 temos que o volume vai ser dado por

V = L ⋅ A

onde L é o comprimento da circunferência gerada pela revolução do ponto que representa o centro de massa da figura. O raio dessa circunferência é dado pela distância entre o centro de massa e a reta y = 2 , logo

r = 2 - 5 9 = 13 9

E temos

L = 2 π r = 26 9 π

Substituindo a área e o comprimento na fórmula do volume temos

V = 26 9 π ⋅ 8 5

V = 208 45 π

Resposta

  1. 0 , 5 9

V = 208 45 π

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19. Use as áreas mostradas nas figuras para encontrar(a) ∫ a b f x d x (b) ∫ b c f x d x (c) ∫ a c f x d x (d) ∫ a d f x d x
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25-28. Use o Teorema 5.5 . 4 e fórmulas apropriadas de Geometria para calcular as integrais. 28 . ∫ - 3 0 2 + 9 - x 2 d x
22. Obtenha ∫ 1 4 3 f x - g ( x ) d x se ∫ 1 4 f ( x ) d x = 2 e ∫ 1 4 g ( x ) d x = 10
18. Em cada parte, calcule a integral, sabendo que: f x = 2 x ,x ≤ 1 2 ,x1 a) ∫ 0 1 f x d x b) ∫ - 1 1 f x d x c) ∫ 1 10 f x d x d) ∫ 1 / 2 5 f x d x