Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 34
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!
A questão nos pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de uma função .
Como a função tem variáveis, não podemos ir calculando todas as derivadas parciais né? Então o que vamos fazer?
Nós vamos encontrar uma equação geral que descreva a derivada parcial dessa função para qualquer variável! Afinal, observe que os termos da função seno seguem um padrão de , onde varia de até !
Passo 2
E para encontrar essa “equação geral das derivadas de primeira ordem” a gente pode começar testando a derivada de alguma dessas variáveis, vamos escolher para esse exemplo!
Derivando em relação a , por exemplo, fixamos as demais variáveis como constantes nós temos
Podemos encontrar essa derivada utilizando a regra da cadeia!
Relembrando:
A regra da cadeia nos diz que para uma função
A sua derivada é dada por
Então para o nosso caso
E como todas as variáveis, exceto , são constantes, ficamos apenas com
Passo 3
Tá, chegamos no , mas e como a gente encontra ?
Veja que esse número é exatamente o valor que multiplicava a variável ! Ou como chamamos anteriormente: É o valor de em quando !
Se tivéssemos calculado a derivada para a única diferença seria
E assim por diante, de forma que podemos escrever a seguinte expressão
Onde é o índice das nossas variáveis e varia de até !