Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 12
Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
Passo 1
Olá, pessoal! Tudo bem? Vamos ver o que a questão quer.
Basicamente, ela quer que analisamos cada alternativa e dizer se a expressão tem sentido ou não. Sendo que é uma função escalar e é um campo vetorial.
Mas o que é campo escalar?
Um campo escalar é uma função que atribui um valor escalar a cada ponto de uma região do espaço. Um escalar é um número que não tem direção associada, apenas magnitude.
A temperatura em diferentes pontos de uma sala pode ser representada por um campo escalar, pois não faz sentido associar uma direção a ela. Ninguém fala da esquerda para direita.
E o campo vetorial?
Um campo vetorial é uma função que atribui um vetor a cada ponto de uma região do espaço. Um vetor é uma quantidade que possui tanto magnitude quanto direção.
A velocidade de qualquer coisa possui direção, sentido e magnitude, assim como o campo elétrico! Embora podemos “tirar” o módulo deles para conseguir apenas a magnitude, sua natureza é vetorial.
Ok, tudo bem. Mas o que é , e ?
PRESTA ATENÇÃO AGORA NESSA PARTE!
Resumidamente,
- é o gradiente, que é uma operação que transforma um campo escalar em um campo vetorial.
- é o rotacional, é uma operação que transforma um campo vetorial em outro campo vetorial.
- é o divergente, é uma operação que transforma um campo vetorial em um campo escalar.
Conseguiu entender tudo? Essas informações são a nossa chavinha.
Então, para resolver essa questão iremos analisar cada letra e ver se as operações são compatíveis com a função à qual está sendo aplicada. Bora lá?
Passo 2
- O rotacional é uma operação feita em campos vetoriais, então não faz sentido usar em uma função escalar.
- O gradiente é um operador para funções escalares, então faz sentido aplicar em e ele gera um campo vetorial.
- O divergente é um operador em funções vetoriais, então faz sentido aplicar em e gera um campo escalar.
- O gradiente de gera um campo vetorial. O rotacional é aplicado em funções vetoriais então faz sentido a aplicação. Gera um campo vetorial.
- O gradiente é um operador para funções escalares, então não faz sentido aplicar em .
- O divergente de e gera um campo escalar. E o gradiente é aplicado em funções escalares, então faz sentido aplica-lo no divergente, gerando um campo vetorial.
- O gradiente de gera um campo vetorial. O divergente é aplicado em funções vetoriais então a expressão faz sentido e gera um campo escalar.
- O divergente é aplicado a funções vetoriais, então não tem significado aplicar em .
- O rotacional de gera um campo vetorial e se aplicarmos o rotacional novamente, teremos um novo campo vetorial.
- O divergente é aplicado em funções vetoriais gera uma função escalar, então não faz sentido aplicar o divergente no divergente.
- O gradiente de gera uma função vetorial e o divergente de uma função escalar e não faz sentido o produto vetorial, se uma das componentes é escalar.
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Passo 7
Passo 8
Passo 9
Passo 10
Passo 11
Passo 12
Passo 3
- O gradiente de gera uma função vetorial, aplicando o rotacional em um campo vetorial, temos outro campo vetorial que podemos aplicar o divergente tranquilamente gerando um campo escalar.
Resposta
- Sem significado.
- Com significado. Campo vetorial.
- Com significado. Campo escalar.
- Com significado. Campo vetorial.
- Sem significado.
- Com significado. Campo vetorial.
- Com significado. Campo escalar.
- Sem significado.
- Com significado. Campo vetorial.
- Sem significado.
- Sem significado.
- Com significado. Campo escalar.