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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 24

Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão definidos como:

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

r o t   F → + G → = r o t   F → + r o t   G →

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Quanta informação nesse enunciado 😵 Vou organizar de um jeito que fica fácil de entender!

Primeiro, ele dá que f é um campo escalar e F → e G → são campos vetoriais.

Segundo, ele diz que as derivadas parciais desses campos existem e são contínuas.

Terceiro, ele dá umas operações com esses campos:

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

Que é a multiplicação de um campo escalar por um campo vetorial.

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

Que é o produto escalar entre dois campos vetoriais.

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

Que é o produto vetorial entre dois campos vetoriais.

Essas informações serão úteis caso alguma dessas operações apareçam na hora da demonstração, aí poderemos usar elas pra resolver esses casos.

Quarto e último, ele quer que demonstremos que

r o t   F → + G → = r o t   F → + r o t   G →

Em palavras, ele quer que demonstremos que o rotacional da soma

r o t   F → + G →

é igual à soma dos rotacionais

r o t   F → + r o t   G →

Agora tudo fica mais fácil né?

Lembrando que o rotacional de algum vetor é o produto vetorial entre ∇ e o vetor!

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

∇ × F → = i → ∂ ∂ y F z - ∂ ∂ z F y + j → ∂ ∂ z F x - ∂ ∂ x F z + k → ∂ ∂ x F y - ∂ ∂ y F x

E que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!

Então, para fazermos essa demonstração, vamos pegar o rotacional da soma

r o t   F → + G →

E tentar chegar em

r o t   F → + r o t   G →

Poderíamos fazer o inverso também, mas é mais complicado e normalmente as questões querem que a gente use o termo da esquerda para chegar no da direita.

Ok? Bora lá?

Passo 2

Primeiro, dentro do rotacional temos uma soma de vetores

F → + G →

Vamos supor que os campos vetoriais F → e G → são dessa forma aqui ó:

F → = F 1 i → + F 2 j → + F 3 k →

G → = G 1 i → + G 2 j → + G 3 k →

Ok?

Somando os vetores e lembrando que essa soma é componente a componente:

F → + G → = F 1 + G 1 i → + F 2 + G 2 j → + F 3 + G 3 k →

Temos então os nossos vetores somados!

Passo 3

Agora vamos aplicar o rotacional neles. Temos

F → + G →

Aplicando ∇ ×

∇ × F → + G →

Vamos ter então, sendo o componente em   i → :

∂ ∂ y F z - ∂ ∂ z F y = ∂ ∂ y ( F 3 + G 3 ) - ∂ ∂ z ( F 2 + G 2 )

Sendo o componente em   j → :

∂ ∂ z F x - ∂ ∂ x F z = ∂ ∂ z F 1 + G 1 ∂ ∂ x ( F 3 + G 3 )

Sendo o componente em   k → :

∂ ∂ x F y - ∂ ∂ y F x = ∂ ∂ x ( F 2 + G 2 ) - ∂ ∂ y ( F 1 + G 1 )

Importante de lembrar que a soma das derivadas é a derivada das somas, sendo assim podemos abrir os termos dos parênteses e organizar as componentes por campo vetorial. Saca só:

Primeiro em i → :

∂ ∂ y ( F 3 + G 3 ) - ∂ ∂ z ( F 2 + G 2 ) = ∂ ∂ y F 3 - ∂ ∂ z F 2 + ∂ ∂ y G 3 - ∂ ∂ z G 2  

Agora em j → :

∂ ∂ z F 1 + G 1 ∂ ∂ x ( F 3 + G 3 ) = ∂ ∂ z F 1 - ∂ ∂ x F 3 + ∂ ∂ z G 1 - ∂ ∂ x G 3

E finalmente em k → :

∂ ∂ x F 2 + G 2 - ∂ ∂ y F 1 + G 1 = ∂ ∂ x F 2 - ∂ ∂ y F 1 + ∂ ∂ x G 2 - ∂ ∂ y G 1

É muita coisa que fica fácil de se perder né?

Passo 4

Muito bem, vamos colocar mais organizado

∇ × F → + G → =

i → ∂ ∂ y F 3 - ∂ ∂ z F 2 + j → ∂ ∂ z F 1 - ∂ ∂ x F 3 + k → ∂ ∂ x F 2 - ∂ ∂ y F 1

+ i → ∂ ∂ y G 3 - ∂ ∂ z G 2 + j → ∂ ∂ z G 1 - ∂ ∂ x G 3 + k → ∂ ∂ x G 2 - ∂ ∂ y G 1

Agora, perceba uma coisa aqui

∇ × F → = i → ∂ ∂ y F z - ∂ ∂ z F y + j → ∂ ∂ z F x - ∂ ∂ x F z + k → ∂ ∂ x F y - ∂ ∂ y F x

O rotacional de apenas um campo vetorial possui esses componentes, o que se parece muito com as linhas acima. Consegue ver que cada linha é um rotacional?

A primeira é o rotacional de F →

∇ × F → = i → ∂ ∂ y F 3 - ∂ ∂ z F 2 + j ��� ∂ ∂ z F 1 - ∂ ∂ x F 3 + k → ∂ ∂ x F 2 - ∂ ∂ y F 1

E a segunda é o rotacional de G →

∇ × G → = i → ∂ ∂ y G 3 - ∂ ∂ z G 2 + j → ∂ ∂ z G 1 - ∂ ∂ x G 3 + k → ∂ ∂ x G 2 - ∂ ∂ y G 1

Portanto,

∇ × F → + G → = ∇ × F → + ∇ × G →

Bem como queríamos demonstrar 😀 Vamos pra próxima?

Resposta

A resposta é a demonstração que foi feita ao longo dos passos

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10) Sejam V (x, y) = x2 + y2 e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q contínuas em ℝ2, tais que, para todo ( x ,y )≠0 ,0 , ∇Vx ,y ⋅ F x , y0 . Seja γ t = x t ,y t ≠ 0,0 ,t ≥ 0 talque γ ' t = F γ t c
9 ) Sejam V e F como no exercício anterior. Seja γ( t )=( x( t ) ,y( t ) ) , t ∈ I, uma curva tal que, para todo t no intervalo I, γ ’ ( t )= F( γ( t ) ) . Prove queg( t )=V( γ( t ) ) é decrescente em
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