Seja F → = P i + Q j uma campo vetorial de R² e m R² , com P e Q diferenciáveis. Sejam u -> cos(α) * i + sen(α) * j e v → = -seno α i → + cos α j → , onde α ≠ 0 é um real dado. Seja (s, t) as coordenadas no sistema de coordenadas (0, u, v) Assim (x, y) = u→ + t + v→ . Observe que (x, y) = u + t * v é equivalente a x = s * cos(α) - t * sen(α) e y = s sen(alpha) + t cos(alpha)

  1. Mostre que
  2. F(x, y) = [P(x, y) * cos(α) + Q(x, y) * sen(α)] + [Q(x, y) * cos(α) - P(x, y) * sen(α)] v →

  3. Seja F₁ → (s, t) = P₁(s, t) + Q₁(s, t) v → onde P₁(s, t) = P(x, y) * cos(α) + Q(x, y) * sen(α) e Q1(s, t) = Q(x, y) * cos(α) - P(x, y) * sen(α) com x = cos(α) - t * sen(α) + sen(α) + t * cos(α) Mostre que ∂P1/∂s (s, t) + ∂Q1/∂t (s, t) = ∂P/∂x (x, y) + ∂Q/∂y (x, y) , onde (x, y) = u + t * v Interprete . (observe que F1 → (s, t) = F(x, y) onde (x, y) = s + u→ + t + v→ .

Passo 1

  1. Recapitulando: u → = cos ⁡ α   i → + s e n   α   j → ; v → = - s e n   α i → + cos ⁡ α   j → ; x , y = s u → + t v → .
  2. Beleza, daqui a gente já pode reescrever ( x , y ) como:

    x , y = s cos ⁡ α - t s e n   α i → + s   s e n   α + t cos ⁡ α j →  

    A gente tem também que:

    i → = cos ⁡ α u → - s e n   α v →       e     j → = s e n   α u → + cos ⁡ α v →

    Show! Agora a gente pode escrever F → = P i → + Q j → com esses dados:

    F → x , y = P x , y [ cos ⁡ α u → - s e n   α v → ] + Q x , y s e n   α u → + cos ⁡ α v →

    Reorganizando agora...

    F → x , y = P x , y cos ⁡ α + Q x , y s e n   α u → + Q x , y cos ⁡ α - P x , y s e n   α v →

    Prontinho! Mostramos o que foi pedido😉

    Passo 2

  3. Fazendo as derivadas parciais de x   e   y , temos:

∂ x ∂ s =   cos ⁡ α ; ∂ x ∂ t =   - s e n   α ;   ∂ y ∂ s = s e n   α ;   ∂ y ∂ t = cos ⁡ α

Daí a gente tem que:

∂ P 1 ∂ s s , t = ∂ ∂ s P x , y cos ⁡ α + Q x , y s e n   α   e

∂ Q 1 ∂ t s , t = [ ∂ ∂ t Q x , y cos ⁡ α - P x , y s e n   α

Aplicando a regra da cadeia e somando as duas...

=   cos ⁡ α ∂ P ∂ x ∂ x ∂ s + cos ⁡ α ∂ P ∂ y ∂ y ∂ s + s e n   α ∂ Q ∂ x ∂ x ∂ s + s e n   α ∂ Q ∂ y ∂ y ∂ s + cos ⁡ α ∂ Q ∂ x ∂ x ∂ t + cos ⁡ α ∂ Q ∂ y ∂ y ∂ t - s e n   α ∂ P ∂ x ∂ x ∂ t - s e n   α ∂ P ∂ y ∂ y ∂ t

Simplificando e usando a relação trigonométrica s e n 2 α + cos 2 ⁡ α = 1 , temos:

∂ P 1 ∂ s s , t + ∂ Q 1 ∂ t s , t = cos 2 ⁡ α + s e n 2 α ∂ P ∂ x x , y + s e n 2 α + cos 2 ⁡ α ∂ Q ∂ y ( x , y )

∂ P 1 ∂ s s , t + ∂ Q 1 ∂ t s , t = ∂ P ∂ x x , y + ∂ Q ∂ y ( x , y )  

Prontinho! Chegamos ao que queríamos😉

Isso significa que o divergente é invariante por uma rotação de eixos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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