Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.4 - Ex. 8

Seja F → = P i → + Q j → uma campo vetorial de R 2   e m   R 2 , com P   e   Q diferenciáveis. Sejam u → = cos ⁡ α   i → + s e n   α   j → e v → = - s e n   α i → + cos ⁡ α   j → , onde α ≠ 0 é um real dado. Seja s , t as coordenadas no sistema de coordenadas 0 ,   u → ,   v → .   Assim x , y = s u → + t v → . Observe que x , y = s u → + t v → é equivalente a x = s cos ⁡ α - t s e n   α e y = s   s e n   α + t cos ⁡ α .

  1. Mostre que

    2. F → x , y = P x , y cos ⁡ α + Q x , y s e n   α u → + Q x , y cos ⁡ α - P x , y s e n   α v →

  2. Seja F 1 → s , t = P 1 s , t u → + Q 1 s , t v → onde P 1 s , t = P x , y cos ⁡ α + Q x , y s e n   α e Q 1 s , t = Q x , y cos ⁡ α - P x , y s e n   α com x = s cos ⁡ α - t   s e n   α   e   y = s   s e n   α + t cos ⁡ α . Mostre que ∂ P 1 ∂ s s , t + ∂ Q 1 ∂ t s , t = ∂ P ∂ x x , y + ∂ Q ∂ y ( x , y ) , onde x , y = s u → + t v → . Interprete . (observe que F 1 → s , t =   F → ( x , y ) onde x , y = s u → + t v → )   .

Passo 1

  1. Recapitulando: u → = cos ⁡ α   i → + s e n   α   j → ; v → = - s e n   α i → + cos ⁡ α   j → ; x , y = s u → + t v → .

    2. Beleza, daqui a gente já pode reescrever ( x , y ) como:

    x , y = s cos ⁡ α - t s e n   α i → + s   s e n   α + t cos ⁡ α j →  

    A gente tem também que:

    i → = cos ⁡ α u → - s e n   α v →       e     j → = s e n   α u → + cos ⁡ α v →

    Show! Agora a gente pode escrever F → = P i → + Q j → com esses dados:

    F → x , y = P x , y [ cos ⁡ α u → - s e n   α v → ] + Q x , y s e n   α u → + cos ⁡ α v →

    Reorganizando agora...

    F → x , y = P x , y cos ⁡ α + Q x , y s e n   α u → + Q x , y cos ⁡ α - P x , y s e n   α v →

    Prontinho! Mostramos o que foi pedido😉

    Passo 2

  2. Fazendo as derivadas parciais de x   e   y , temos:

∂ x ∂ s =   cos ⁡ α ; ∂ x ∂ t =   - s e n   α ;   ∂ y ∂ s = s e n   α ;   ∂ y ∂ t = cos ⁡ α

Daí a gente tem que:

∂ P 1 ∂ s s , t = ∂ ∂ s P x , y cos ⁡ α + Q x , y s e n   α   e

∂ Q 1 ∂ t s , t = [ ∂ ∂ t Q x , y cos ⁡ α - P x , y s e n   α

Aplicando a regra da cadeia e somando as duas...

=   cos ⁡ α ∂ P ∂ x ∂ x ∂ s + cos ⁡ α ∂ P ∂ y ∂ y ∂ s + s e n   α ∂ Q ∂ x ∂ x ∂ s + s e n   α ∂ Q ∂ y ∂ y ∂ s + cos ⁡ α ∂ Q ∂ x ∂ x ∂ t + cos ⁡ α ∂ Q ∂ y ∂ y ∂ t - s e n   α ∂ P ∂ x ∂ x ∂ t - s e n   α ∂ P ∂ y ∂ y ∂ t

Simplificando e usando a relação trigonométrica s e n 2 α + cos 2 ⁡ α = 1 , temos:

∂ P 1 ∂ s s , t + ∂ Q 1 ∂ t s , t = cos 2 ⁡ α + s e n 2 α ∂ P ∂ x x , y + s e n 2 α + cos 2 ⁡ α ∂ Q ∂ y ( x , y )

∂ P 1 ∂ s s , t + ∂ Q 1 ∂ t s , t = ∂ P ∂ x x , y + ∂ Q ∂ y ( x , y )  

Prontinho! Chegamos ao que queríamos😉

Isso significa que o divergente é invariante por uma rotação de eixos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-4, encontre a divergência do campo.3. O campo gravitacional da Figura 16.8 e Exercício 38a na Seção 16.3.
Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de F através da fronteira da região D.
Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de F através da fronteira da região D.
Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de F através da fronteira da região D.7. Cilindro e paraboloide:
Seja F um campo cujas componentes têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma parte do espaço contendo uma região D delimitada por uma superfície fechada e lisa S. se │ F │ ≤ 1 ,│ │ pode