Seja uma campo vetorial de , com diferenciáveis. Sejam e , onde é um real dado. Seja as coordenadas no sistema de coordenadas Assim . Observe que é equivalente a e
- Mostre que
- Seja onde e com Mostre que , onde Interprete . (observe que onde .
Passo 1
- Recapitulando: ; ; .
- Fazendo as derivadas parciais de , temos:
Beleza, daqui a gente já pode reescrever como:
A gente tem também que:
Show! Agora a gente pode escrever com esses dados:
Reorganizando agora...
Prontinho! Mostramos o que foi pedido😉
Passo 2
Daí a gente tem que:
Aplicando a regra da cadeia e somando as duas...
Simplificando e usando a relação trigonométrica , temos:
Prontinho! Chegamos ao que queríamos😉
Isso significa que o divergente é invariante por uma rotação de eixos.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)