Prove:

  1. underset(X -> P)(lim) F (X) = vec 0 harr underset(X -> P)(lim) ||F (X)|| = vec 0 . (vec 0 é o v e t o r n u l o d e R^m)

Passo 1

Vamos considerar F : A sub R^n -> R^m e P sendo um ponto de acumulação de A .

Temos que:

underset(X -> P)(lim) F (X) = vec 0 harr AA epsilon > 0 , EE delta > 0

Pela definição de limite...

Tal que AA X in A temos:

0 < ||X - P|| < delta -> ||F (X) - vec 0|| < epsilon

Se e somente se:

AA epsilon > 0 , EE delta > 0 , AA X in A

0 < ||X - P|| < epsilon -> |||F (x)|| - 0| < epsilon

Ou seja:

underset(X -> P)(lim) ||F (x)|| = 0

E com isso provamos que:

underset(X -> P)(lim) F (X) = vec 0 harr underset(X -> P)(lim) ||F (X)|| = vec 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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