Seja de classe no aberto e sejam e como no exercício anterior. Prove que se no interior de e em , então para todo . Suponha, ainda, que seja um circulo.

(Sugestão. Utilize o item do exercício anterior.)

Partindo daquela equação mostrada no passo 1, que é solução do item do exercício anterior, vamos ter que ao fazer nossas suposições ( e em ), o termo do lado esquerdo da igualdade será igual a zero, pois quando integrarmos aquilo haverá termos de aplicados em , que como vimos, é zero e do lado direito da igualdade vamos ter que o termo , pois supomos exatamente isso. Assim, nossa equação fica

A única maneira de essa integral ser zero é se . Assim, segue que, como o interior de é conexo por caminhos, deve haver algum valor onde

para todo no interior de . Mas como nosso em , isso nos diz que a única forma de isso ser válido é se , pois essa igualdade tem que ser respeitada e como não temos a forma de nossa função , precisa assumir esse valor para nossa função quando aplicada a ser zero.