Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 41
Seja . Encontre todos os inteiros positivos com os quais .
Passo 1
A ideia aqui é que a gente precisa calcular sucessivamente a derivada dessa função, e tentar identificar um padrão. Com esse padrão, a gente consegue dizer para que valores de , a derivada resulta no seno.
Passo 2
Vamos começar pela derivada de cosseno:
Agora vamos derivar a função de novo algumas vezes para ver no que dá:
Ih olha só, a gente acabou voltando para o cosseno. Se a gente continuar derivando, vamos passar por todas essas funções e chegar no cosseno de novo. Temos um padrão. Vamos a analisar melhor esse padrão.
Passo 3
Se a gente organizar nossas derivadas pelo número de vezes que a função cosseno foi derivada, assim:
Vemos que encontramos a função cosseno de quatro em quatro vezes que derivamos a própria função cosseno. Agora vamos voltar para o nosso enunciado. Queremos saber para que valor de , temos:
Se o cosseno se repete de quatro em quatro vezes, o seno também vai se repetir, mas começando a contar de . Logo, os valores de são:
Ou seja, , sendo qualquer número natural.
Ufa! Conseguimos!