Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 43h
Em cada item, determine onde é diferenciável.
Passo 1
Para uma função ser diferenciável em um ponto, vemos se a função é contínua no ponto e se a derivada dela é contínua nesse ponto.
Como queremos dizer onde nossa função é diferenciável, podemos ver onde isso não acontece, a partir dessas duas condições. Beleza? Vamos lá!
Passo 2
Olhando a primeira condição:
Como isso é uma fração, sabemos que o denominador precisa ser diferente de , para a função estar definida. Então:
Daí temos que essas duas funções não podemo zerar, já que temos um produto. Assim,
Sendo um número inteiro.
A gente pode juntar esse conjunto de ponto escrevendo que:
Daí a gente vê que nossa função não é diferenciável nesse conjunto de pontos.
Passo 3
Se olharmos para a derivada, usando a regra do quociente e do produto:
Temos o mesmo problema, por estarmos trabalhando com uma fração. Por isso dizemos que nossa função é diferenciável para:
Resposta
é diferenciável para