Em cada item, determine onde f é diferenciável.

f(x) = 1 / (sen x \* cos x)

Passo 1

Para uma função ser diferenciável em um ponto, vemos se a função é contínua no ponto e se a derivada dela é contínua nesse ponto.

Como queremos dizer onde nossa função é diferenciável, podemos ver onde isso não acontece, a partir dessas duas condições. Beleza? Vamos lá!

Passo 2

Olhando a primeira condição:

f x = 1 s e n   x cos ⁡ x

Como isso é uma fração, sabemos que o denominador precisa ser diferente de 0 , para a função estar definida. Então:

s e n   x cos ⁡ x ≠ 0

Daí temos que essas duas funções não podemo zerar, já que temos um produto. Assim,

s e n   x ≠ 0 ∴ x ≠ n π + π / 2

cos ⁡ x ≠ 0 ∴ x ≠ n π

Sendo n um número inteiro.

A gente pode juntar esse conjunto de ponto escrevendo que:

x ≠ n π 2 ,   n = 0 , ± 1 , ± 2 , …

Daí a gente vê que nossa função não é diferenciável nesse conjunto de pontos.

Passo 3

Se olharmos para a derivada, usando a regra do quociente e do produto:

f ' x = 0 ⋅ s e n   x cos ⁡ x - s e n   x cos ⁡ x ' s e n   x cos ⁡ x 2 = - s e n   x cos ⁡ x ' s e n   x cos ⁡ x 2

f ' x = - cos 2 ⁡ x + s e n 2 x s e n   x cos ⁡ x 2

Temos o mesmo problema   s e n   x cos ⁡ x ≠ 0 , por estarmos trabalhando com uma fração. Por isso dizemos que nossa função é diferenciável para:

x ≠ n π 2 ,     n = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 , …

Resposta

f ( x ) é diferenciável para x ≠ n π / 2     ,     n = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 , …

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