Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 37
Seja . Para qual valor de ocorre
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar o valor de da função
sabendo que a derivada da função em é igual a .
Ou seja, temos que usar essa informação da derivada para determinar qual o valor da constante .
A ideia aqui é calcular a derivada da função , depois aplicar a condição de que em ela é igual a , depois isolar o para determinar seu valor.
Já temos um plano. Então...
Vamos lá!
Passo 2
Temos a função
E nosso primeiro passo é derivar essa função.
Então, derivando cada termos teremos:
A derivada de é bem tranquila, pois é uma constante. Assim:
Agora, para derivar
Precisamos olhar pra ela como sendo uma função composta. Assim:
E a regra da cadeia é
a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.
A derivada da de fora é a derivada de , então sua derivada será dada por:
Como
Show, e a derivada da função e dentro é
Aplicando a regra da cadeia, teremos:
Arrumando um pouco melhor, ficamos com:
Passo 3
Agora que já temos a expressão da derivada da função, basta aplicar as condições dadas pelo enunciado.
Queremos saber o valor de quando , então vamos aplicar esse ponto na equação da derivada:
Como , temos:
E isolando , obtemos:
E chegamos ao nosso valor pedido.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉