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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 4a

Uma haste, presa na origem do plano x y , ocupa a posição da reta x = t y . A haste intercepta a reta y = 4 no ponto S e a elipse 4 x 2 + y - 2 2 = 4 no ponto Q . Quando t varia, o vértice P do triângulo retângulo Q P S decresce uma curva.

Passo 1

Analisando a imagem nós conseguimos identificar que P = ( S x ,   Q y ) . Dessa forma, utilizando-se do fato de que y = 4 , conseguimos obter a seguinte relação:

x = y t

x = 4 t

Passo 2

Além disso, temos que o ponto Q se trata da intersecção da reta x com a elipse 4 x 2 + y - 2 2 = 4 :

4 x 2 + y - 2 2 = 4

4 y t 2 + y - 2 2 = 4

4 y 2 t 2 + y 2 - 4 y + 4 = 4

4 y 2 t 2 + y 2 - 4 y + 4 - 4 = 0

y 4 y t 2 + y - 4 = 0

Logo, temos que:

4 y t 2 + y - 4 = 0

y 4 t 2 + 1 = 4

y = 4 4 t 2 + 1

Resposta

Sendo assim, temos o seguinte par de equações paramétricas:

x = 4 t ,     y = 4 4 t 2 + 1 ,     t ∈ R

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