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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 19

Seja a função vetorial definida por:

σ t = 2 t 1 + t 2 , 1 - t 2 1 + t 2 , 1

Mostre que o ângulo entre σ t e σ ' t é constante, isto é, independe de t .

Passo 1

Uma forma da gente provar que o ângulo não depende de t é fazer a seguinte manipulação a partir da definição de produto escalar:

σ t ∙ σ ' t = σ t σ ' t ∙ cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = σ t ∙ σ ' t σ t σ ' t

Se cos ⁡ θ ≠ f t então tá provado. Como vamos precisar da derivada, usando regra do quociente, temos:

σ t = 2 t 1 + t 2 , 1 - t 2 1 + t 2 , 1

σ ' t = 2 1 + t 2 - 2 t 2 t 1 + t 2 2 , - 2 t 1 + t 2 - 1 - t 2 2 t 1 + t 2 2 , 0

σ ' t = 2 - 2 t 2 1 + t 2 2 , - 4 t 1 + t 2 2 , 0

Fazendo o produto escalar:

σ t ∙ σ ' t =

2 t 1 + t 2 , 1 - t 2 1 + t 2 , 1 ∙ 2 - 2 t 2 1 + t 2 2 , - 4 t 1 + t 2 2 , 0 =

2 t 1 + t 2 2 - 2 t 2 1 + t 2 2 + 1 - t 2 1 + t 2 - 4 t 1 + t 2 2 + 1 0 =

4 t - 4 t 3 1 + t 2 3 + - 4 t + 4 t 3 1 + t 2 3 = 0

E ta na mão, cos ⁡ θ = 0 ≠ f t mesmo!

Resposta

Sendo o produto escalar σ t ∙ σ ' t = 0 para qualquer t , temos que cos ⁡ θ = σ t ∙ σ ' t σ t σ ' t = 0 ≠ f t

Provando que o ângulo entre σ t e σ ' t é constante.

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