A involuta de uma circunferência é a curva traçada pelo ponto de extremidade de um fio quando o mesmo, mantido tenso, é desenrolado de um carretel fixo. Suponha que o centro do carretel está colocado na origem do plano xy e seu raio é a , e que o fio começa a se desenrolar no ponto A = (a, 0) . Mostre que as equações paramétricas da involuta, ao desenrolar uma volta do fio no carretel, são:

x(θ) = a(cosθ + θsinθ), y(θ) = a(sinθ - θcosθ), θ ∈ [0, 2pi]

Passo 1

A primeira coisa que nós temos que fazer é criarmos algumas referências utilizando as propriedades dos triângulos retângulos:

Passo 2

A partir delas conseguimos concluir que x pode ser obtido através da seguinte soma:

x = a * cos ⁡ θ + a θ * cos ⁡ ( π 2 - θ )

Além disso, devemos nos lembrar da seguinte relação:

cos ⁡ π 2 - θ = sin ⁡ θ

E em seguida aplicá-la em x :

x = a * cos ⁡ θ + a θ * sin ⁡ θ

x = a ( cos ⁡ θ + θ sin ⁡ θ )

Passo 3

Já para y , é fácil perceber que o mesmo pode ser obtido através da seguinte subtração:

y = a * sin ⁡ θ - a θ * sin ⁡ ( π 2 - 90 )

Onde assim como no passo anterior, devemos nos lembrar da seguinte relação:

sin ⁡ π 2 - 90 = cos ⁡ θ

E em seguida aplicá-la em y :

y = a * sin ⁡ θ - a θ * cos ⁡ θ

y = a ( sin ⁡ θ - θ cos ⁡ θ )

Resposta

Portanto, chegamos no seguinte par de equações paramétricas:

x = a cos ⁡ θ + θ sin ⁡ θ ,     y = a sin ⁡ θ - θ cos ⁡ θ ,     π ∈ [ 0 ,   2 π ]

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