Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S .

F → x , y , z =   - y i ^ + x j ^ - 2 k ^

S é o cone z 2 = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 4 , com orientação descendente.

Passo 1

E aii galera, beleza!?

Devemos verificar que o teorema de Stokes é verdadeiro para o seguinte campo vetorial:

F → x , y , z =   - y i ^ + x j ^ - 2 k ^

Onde,

S é o cone z 2 = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 4 , com orientação descendente.

Vamos começar entendendo nossa região do cone.

Uma orientação descendente significa orientada para baixo, ou seja, o vetor normal no sentido negativo do eixo. Assim:

O Teorema de Stokes é definido como:

∬ S r o t   F → ⋅ d S → = ∫ C F → ⋅ d r →

A integral dupla do rotacional de F na superfície S é igual a integral de linha de F ao longo de uma curva fechada C .

Para verificar que é verdadeiro, vamos ter que resolver cada integral, e ver se temos a mesma resposta.

Lembre-se que o rotacional é:

r o t   F = ∇ × F → = d e t i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z F x F y F z

E,

d S → = n → d A

Observe que precisamos fazer o determinante para achar o rotacional. Na segunda linha temos as derivadas em relação a x , y   e   z , e na terceira linha os respectivos valores do campo vetorial, onde:

F → x , y , z =   F x i ^ + F y j ^ + F z k ^

Já para a segunda parte da nossa integral, iremos fazer o seguinte:

∮ C F → ⋅ d r → = ∫ C F → r → t ⋅ r → ' t d t

Repare que precisamos achar uma parametrização r → t para nossa região.

Como temos um cone:

z 2 = x 2 + y 2

0 ≤ z ≤ 4

Em z = 4 , temo um círculo de raio 4 :

x 2 + y 2 = 4 2

A parametrização para um círculo é a seguinte:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

Escrevendo em função de r ( t ) , temos que uma parametrização descendente é:

r → t = 4 cos ⁡ t i ^ - 4   s e n   t   j ^ + 4   k ^

0 ≤ t ≤ 2 π

Agora que está mastigado as informações, deixo o resto com vocês.

Não tem erro, é só organizar as integrais.

Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar resolvendo essa integral:

∬ S r o t   F → ⋅ d S →

Já sabemos que o rotacional é expresso como:

r o t   F = ∇ × F → = d e t i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z F x F y F z

E que o campo vetorial F é:

F → x , y , z =   - y i ^ + x j ^ - 2 k ^

Onde temos:

F → x , y , z =   F x i ^ + F y j ^ + F z k ^

Substituindo no rotacional, vamos ter:

r o t   F = d e t i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z - y x 2

Aplicando o determinante teremos:

r o t   F = i ^ 0   + j ^ 0 + k ^ 1 - - 1

r o t   F = 2 k ^

Como nossa orientação é descendente, vamos ter o vetor normal n no sentido negativo do eixo z , conforme imagem:

Logo, podemos escrever d S como:

d S → = - k ^ d A

Substituindo na integral, temos:

Assim temos que

∬ S r o t   F ⋅ d S → = ∬ D 0,0 , 2 ⋅ 0,0 , - 1 d A

Fazendo o produto escalar, temos:

- 2 ∬ D d A

Como temos a integral de d A , isso nos dá a própria área. Olhando a figura acima, sabemos que a área é igual a de um círculo de raio 4 . Logo nossa resposta é:

∬ S r o t   F ⋅ d S → = - 2   A D =   - 2   π r 2 = - 2 π 4 2

∬ S r o t   F ⋅ d S → = - 32 π

Passo 3

Já para a segunda parte da nossa integral, iremos fazer o seguinte:

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ C F → r → t ⋅ r → ' t d t

Como já vimos, podemos adotar a seguinte parametrização r → t para o círculo:

r → t = 4 cos ⁡ t i ^ - 4   s e n   t   j ^ + 4   k ^

0 ≤ t ≤ 2 π

Para achar r → ' t , precisamos fazer a derivada de r → t em relação a t . Assim:

r → ' t = d r t d t = - 4   s e n   t   i ^ - 4 cos ⁡ t   j ^ + 0 k ^

d r → = ( - 4   s e n   t   i ^ - 4 cos ⁡ t   j ^ + 0 k ^ ) d t

Precisamos também parametrizar F → x , y , z . Assim temos que F → r → t é:

F → r → t = 4   s e n   t   i ^ + 4 cos ⁡ t   j ^ - 2 k ^

Substituindo na integral, temos:

∫ 0 2 π 4   s e n   t , 4 cos ⁡ t , - 2 ∙ ( - 4   s e n   t , - 4 cos ⁡ t , 0 ) d t

Fazendo o produto escalar temos:

∫ 0 2 π - 16   s e n 2 t - 16 cos 2 ⁡ t d t

Vamos utilizar a seguinte relação trigonométrica:

  s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

Assim, ficamos com:

∫ 0 2 π - 16 d t

Resolvendo essa integral, vamos ter:

- 16 ( t ) 0 2 π

Aplicando os limites de integração, temos que a integral de linha vale:

∫ C F → r → t ⋅ r → ' t d t = - 32 π

Veja, que realmente:

∬ S r o t   F → ⋅ d S → = ∫ C F → ⋅ d r → = - 32 π

Logo, provamos que o teorema de Stokes é verdadeiro!

Resposta

O teorema de Stokes é verdadeiro!

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados