Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 10
Use o Teorema de Stokes para calcular Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário como visto acima.
é a curva resultante da interseção do plano e o cilindro .
Passo 1
Fala, galera! Tranquilo?
A questão aqui quer que a gente use o Teorema de Stokes para calcular:
Onde é:
E é a curva resultante da interseção do plano
e o cilindro
Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por
onde é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva. Por definição:
onde
Então, vamos calcular o rotacional da função . Daí, aplicamos na nossa integral dupla e a partir da região que estamos calculando, definimos os limites de integração da nossa integral dupla.
Daí é só integrarmos de dentro pra fora, como já sabemos!
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar calculando o rotacional da função:
Nossa função tem a estrutura:
Como nossa função é:
Temos que:
Assim, temos:
Resolvendo as derivadas parciais:
Passo 3
Se a superfície é da forma e é orientada para cima, podemos usar a seguinte formula:
onde e são as componentes e do rotacional:
Sabemos que faz parte do plano e que é a projeção da superfície no plano . Então nossa função é:
- Derivada em :
- Derivada em :
Substituindo os termos que achamos na integral do Teorema de Stokes:
Passo 4
Então bora resolver nossa integral:
Fazendo as operações, ficamos com:
Substituindo
Temos:
Veja que pra gente conseguir resolver nossa integral dupla, precisamos ainda dos limites e integração:
é a projeção de no plano , certo? vai ser a região dentro do círculo no primeiro quadrante. Vamos passar aqui as variáveis para coordenadas polares, para facilitar nossa vida!
Como temos uma circunferência completa de raio 1 centrada na origem, os limites de integração serão:
O jacobiano para coordenadas polares ��:
Assim, nossa integral fica:
Agora sim basta resolvermos:
Integrando primeiro em relação a , que é a integral de dentro, tratando com constante:
Vamos lá que tá quase acabando! Aplicando os limites de integração:
Agora integramos em
E aplicando os limites de integração, temos finalmente: