Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F . d r . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário como visto acima. F x , y , z = 2 y i + ( x z ) j + ( x + y ) k C é a curva resultante da interseção do plano z = y + 2 e o cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 10

Use o Teorema de Stokes para calcular Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário como visto acima.

é a curva resultante da interseção do plano e o cilindro .

Passo 1

Fala, galera! Tranquilo?

A questão aqui quer que a gente use o Teorema de Stokes para calcular:

Onde é:

E é a curva resultante da interseção do plano

e o cilindro

Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por

onde é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva. Por definição:

onde

Então, vamos calcular o rotacional da função . Daí, aplicamos na nossa integral dupla e a partir da região que estamos calculando, definimos os limites de integração da nossa integral dupla.

Daí é só integrarmos de dentro pra fora, como já sabemos!

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o rotacional da função:

Nossa função tem a estrutura:

Como nossa função é:

Temos que:

Assim, temos:

Resolvendo as derivadas parciais:

Passo 3

Se a superfície é da forma e é orientada para cima, podemos usar a seguinte formula:

onde e são as componentes e do rotacional:

Sabemos que faz parte do plano e que é a projeção da superfície no plano . Então nossa função é:

Derivada em :

Derivada em :

Substituindo os termos que achamos na integral do Teorema de Stokes:

Passo 4

Então bora resolver nossa integral:

Fazendo as operações, ficamos com:

Substituindo

Temos:

Veja que pra gente conseguir resolver nossa integral dupla, precisamos ainda dos limites e integração:

é a projeção de no plano , certo? vai ser a região dentro do círculo no primeiro quadrante. Vamos passar aqui as variáveis para coordenadas polares, para facilitar nossa vida!

Como temos uma circunferência completa de raio 1 centrada na origem, os limites de integração serão:

O jacobiano para coordenadas polares ��:

Assim, nossa integral fica:

Agora sim basta resolvermos:

Integrando primeiro em relação a , que é a integral de dentro, tratando com constante:

Vamos lá que tá quase acabando! Aplicando os limites de integração:

Agora integramos em

E aplicando os limites de integração, temos finalmente:

Resposta

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Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva C . ∮ C 8 x - 2 y d x + y d y + 3 z d z = 4 3 Onde C é a fronteira do

Seja C a circunferência de raio a , no plano 2 x + 2 y + z = 4 , centrada no ponto 1 ; 2 ; - 2 . Se F x , y , z = y - x; z - x; x - y , determine o valor de a para que: ∮ C Fd r = - 8 3 π .

Calcule ∬ S r o t F →. n →d s Onde F x , y , z = x - x 2 z ; y z 3 - y 2 ; x 2 y - x z e S é qualquer superfície cuja borda seja uma curva fechada no plano x y .

Calcule ∬_S r o t (vec F) . vec n d s , onde F (x , y , z) = (2 x y ; 0 ; - x z) e S é a superfície do elipsóide:(x^2)/(4) + (y^2)/(9) + (z^2)/(16) = 1

Calcule int_C F d r , Onde:F (x , y , z) = (e^(- y) - z e^(- x) ; e^(- z) - x e^(- y) ; e^(- x) - y e^(- z)) E C é a curva parametrizada:sigma (t) = ((ln (1 + t))/(ln 2) ; sin ((pi t)/(2)) ; (1 - e^t)