Seja y = f ( x ) uma curva suave em [ a , b ] e suponha que f x ≥ 0 com a ≤ x ≤ b . Sejam A a área sob a curva y = f ( x ) entre x = a e x = b e S a área da superfície gerada quando essa seção da curva gira em torno do eixo x .Prove que 2 π A ≤ S .Para quais funções f é 2 π A = S ?

(a) Prova desenvolvida nos passos.(b) f ' x = 0

Enunciado

(a) Queremos provar que:

Lembrando que:

A ideia quando queremos provar algo assim é a gente usar essas equações para chegar na inequação do enunciado. Vamos começar!

A inequação que a gente quer provar é:

Se a gente abrir ela, substituindo as expressões de e :

A única diferença entre os lados da inequação é a raiz quadrada. Como temos , ou seja, um termo sempre positivo mais um, podemos dizer que:

Se a gente multiplicar os dois lados por e integrar de a :

Chegamos exatamente na equação que queríamos provar!

(b) Vamos olhar para nossa inequação:

A único jeito dos dois lados serem iguais é se o valor da raiz for :

O que diz para gente que para:

(a) Prova desenvolvida nos passos.

(b)