Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 30
Seja uma curva suave em e suponha que com . Sejam a área sob a curva entre e e a área da superfície gerada quando essa seção da curva gira em torno do eixo .
- Prove que .
- Para quais funções é ?
Passo 1
(a) Queremos provar que:
Lembrando que:
E:
A ideia quando queremos provar algo assim é a gente usar essas equações para chegar na inequação do enunciado. Vamos começar!
Passo 2
A inequação que a gente quer provar é:
Se a gente abrir ela, substituindo as expressões de e :
A única diferença entre os lados da inequação é a raiz quadrada. Como temos , ou seja, um termo sempre positivo mais um, podemos dizer que:
Se a gente multiplicar os dois lados por e integrar de a :
Chegamos exatamente na equação que queríamos provar!
Passo 3
(b) Vamos olhar para nossa inequação:
A único jeito dos dois lados serem iguais é se o valor da raiz for :
O que diz para gente que para:
Resposta
(a) Prova desenvolvida nos passos.
(b)