Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 28
Seja uma curva lisa no intervalo e suponha que com . Pelo Teorema do Valor Extremo (4.4.2), a função tem um valor máximo e um valor mínimo em . Prove: Se for o comprimento de curva entre e , e se for a área da superfície gerada quando essa curva gira em torno do eixo , então
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove que:
Precisamos usar essa fórmula aqui para fazer essa prova:
E precisamos lembrar que o comprimento do arco tem essa cara:
Vamos refletir!
Passo 2
Pelo Teorema que é mencionado no enunciado:
Se a gente multiplicar tudo por :
Se integrarmos tudo:
Tirando as constantes da integrais:
Repara que apareceram nossas relações lá do primeiro passo!
E nossas inequações ficam:
Que é exatamente o que precisamos provar!
Resposta
Prova desenvolvida nos passos.
Exercícios de Livros Relacionados
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Nos Exercícios 21-24, determine as áreas de superfícies geradas pela rotação das curvas em torno dos eixos dados.22. y = x 3 / 3, 0 ≤ x ≤ 1 ; e i x ox
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