Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 73
Seja derivável em todo valor de e suponha que , que em e que em
A. Mostre que para todo .
B. , necessariamente? Explique.
Passo 1
Primeiramente queremos mostrar que para qualquer valor de que usarmos, dadas as condições do enunciado. Depois precisamos verificar se necessariamente.
Passo 2
Começando pela letra a vamos supor e aplicaremos o teorema do valor médio que nos diz que existe um ponto dentro de um intervalo tal que . Dessa forma, teremos
Isso implica que , pois em pelo enunciado.
Agora, se considerarmos pelo teorema do valor médio vamos ter
Isso implica que , pois em pelo enunciado. Como , podemos concluir que desde que
Passo 3
Para a responder a letra b utilizaremos o fato constatado na letra a que nos mostra que e , pelo teorema da unicidade do limite sabemos que o valor desse limite deve ser único, então, para satisfazer os 2 limites ao mesmo tempo devemos ter , então, necessariamente .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)