Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.4 - Ex. 21
Seja , com . Encontre se o domínio de for restrito a
Passo 1
Fala povo, tudo certo? A questão vai pedir pra gente inverter:
Como toda vez que a gente inverte a gente isola e escreve ele como uma função de , fica complicado fazer isso com o aparecendo duas vezes do lado direito, né não? Agora, se tivéssemos algo do tipo:
Ficaria mais tranquilo, não? Afinal, agora o só apareceu uma única vez. Vamos tentar reescrever a função original nesse formato então, bora? Abrindo o quadrado da equação acima, temos:
E comparando com:
Chegamos à conclusão que os coeficientes são iguais a:
Da primeira linha, temos que:
Com esse resultado e a segunda linha, tiramos:
E desse resultado com a terceira linha, temos que:
Juntando tudo, temos:
E pode confiar que se abrirmos esse quadrado ai, vamos achar exatamente:
Passo 2
Show de bola, com
Conseguimos isolar . Passando o termo fora do quadrado pro lado esquerdo, temos:
E fazendo raiz quadrada dos dois lados, achamos:
Vamos deixar esse ai por enquanto, ok? Belê, agora passamos pro lado direito e dividimos todo mundo depois por :
E olha só que loucura, a gente meio que montou a fórmula de Bháskara! Como a gente usa ela pra achar as raízes de um polinômio do segundo grau, a expressão acima sempre terá quando queremos usar pra esse propósito, ficando igualzinho! Mas não é exatamente isso que queremos né? Hahaha
Passo 3
Bem galera, nos deparemos com:
Pra fechar a inversão da função, precisamos de duas coisas:
- Coisa 1: Saber qual sinal usar em cada caso do enunciado
- Coisa 2: Para cada caso do enunciado, saber qual o intervalo de que está definido
Bem, nosso enunciado era para, pra letra :
Então bora lá! Usando a inequação acima e a expressão de que achamos, temos:
Como o enunciado nos disse que , temos, ao multiplicar os dois lados por , que:
Se , tínhamos que trocar por , então bastante cuidado sempre nas inequações, ok? Oras, como o resultado da raiz deve ser sempre positivo, vamos ter que escolher entre o valor positivo pra isso ser possível! E ainda, do interior da raiz, podemos tirar:
Ta na mão então! Nossa expressão se torna:
Trocando de lugar, achamos finalmente nossa inversa:
Por fim:
Passo 4
Vamos fazer a mesma coisa agora só que pra letra onde tínhamos:
Então bora lá! Usando a inequação acima e a expressão de que achamos, temos:
Como o enunciado nos disse que , temos, ao multiplicar os dois lados por , que:
Como o resultado da raiz deve ser sempre positivo, vamos ter que escolher entre o valor negativo pra dar certo! E ainda, do interior da raiz, podemos tirar:
Ta na mão então! Nossa expressão se torna:
Trocando de lugar, achamos finalmente nossa inversa:
Por fim:
Resposta
Seja , com , para os domínios originais de :
As inversas serão: