Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.4 - Ex. 21

Seja , com . Encontre se o domínio de for restrito a

Passo 1

Fala povo, tudo certo? A questão vai pedir pra gente inverter:

Como toda vez que a gente inverte a gente isola e escreve ele como uma função de , fica complicado fazer isso com o aparecendo duas vezes do lado direito, né não? Agora, se tivéssemos algo do tipo:

Ficaria mais tranquilo, não? Afinal, agora o só apareceu uma única vez. Vamos tentar reescrever a função original nesse formato então, bora? Abrindo o quadrado da equação acima, temos:

E comparando com:

Chegamos à conclusão que os coeficientes são iguais a:

Da primeira linha, temos que:

Com esse resultado e a segunda linha, tiramos:

E desse resultado com a terceira linha, temos que:

Juntando tudo, temos:

E pode confiar que se abrirmos esse quadrado ai, vamos achar exatamente:

Passo 2

Show de bola, com

Conseguimos isolar . Passando o termo fora do quadrado pro lado esquerdo, temos:

E fazendo raiz quadrada dos dois lados, achamos:

Vamos deixar esse ai por enquanto, ok? Belê, agora passamos pro lado direito e dividimos todo mundo depois por :

E olha só que loucura, a gente meio que montou a fórmula de Bháskara! Como a gente usa ela pra achar as raízes de um polinômio do segundo grau, a expressão acima sempre terá quando queremos usar pra esse propósito, ficando igualzinho! Mas não é exatamente isso que queremos né? Hahaha

Passo 3

Bem galera, nos deparemos com:

Pra fechar a inversão da função, precisamos de duas coisas:

Coisa 1: Saber qual sinal usar em cada caso do enunciado
Coisa 2: Para cada caso do enunciado, saber qual o intervalo de que está definido

Bem, nosso enunciado era para, pra letra :

Então bora lá! Usando a inequação acima e a expressão de que achamos, temos:

Como o enunciado nos disse que , temos, ao multiplicar os dois lados por , que:

Se , tínhamos que trocar por , então bastante cuidado sempre nas inequações, ok? Oras, como o resultado da raiz deve ser sempre positivo, vamos ter que escolher entre o valor positivo pra isso ser possível! E ainda, do interior da raiz, podemos tirar:

Ta na mão então! Nossa expressão se torna:

Trocando de lugar, achamos finalmente nossa inversa:

Por fim:

Passo 4

Vamos fazer a mesma coisa agora só que pra letra onde tínhamos:

Então bora lá! Usando a inequação acima e a expressão de que achamos, temos:

Como o enunciado nos disse que , temos, ao multiplicar os dois lados por , que:

Como o resultado da raiz deve ser sempre positivo, vamos ter que escolher entre o valor negativo pra dar certo! E ainda, do interior da raiz, podemos tirar: