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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.1 - Ex. 12

Dado que y = cot - 1 ⁡ - 1 2 , ache o valor exato de cada uma das funções: (a) sen ⁡ y ; (b) cos ⁡ y ; (c) tan ⁡ y ; (d) sec ⁡ y ; (e) csc ⁡ y .

Passo 1

  1. sen ⁡ y

    2. A primeira coisa que vamos fazer é observar que se y = cot - 1 ⁡ - 1 2 , então cot ⁡ y = - 1 2 . Agora lembramos também que cot ⁡ y = cos ⁡ y sen ⁡ y = - 1 2     → cos ⁡ y = - sen ⁡ y 2 .

    Agora basta usar a relação sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 .

    sen 2 ⁡ y + - sen ⁡ y 2 2 = 1

    sen 2 ⁡ y + sen 2 ⁡ y 4 = 1

    5 sen 2 ⁡ y 4 = 1

    sen 2 ⁡ y = 4 5   →     sen ⁡ y = ± 2 5

    Lembre-se que a imagem da cot - 1 ⁡ x é o intervalo ( 0 , π ) . Sendo assim, y ∈   ( 0 , π ) e sen ⁡ y > 0 . Logo,

    sen ⁡ y = 2 5

    Passo 2

  2. cos ⁡ y

    3. Sabemos que     cos ⁡ y = - sen ⁡ y 2 e sen ⁡ y = 2 5 , logo:

    cos ⁡ y = - 2 2 5 = - 1 5

    Passo 3

  3. tan ⁡ y

    4. Sabemos que tan ⁡ y = sen ⁡ y cos ⁡ y , então, utilizando os resultados anteriores, temos:

    tan ⁡ y = 2 5 - 1 5 = - 2

    Passo 4

  4. sec ⁡ y

    5. Sabemos que sec ⁡ y = 1 cos ⁡ y , então, utilizando os resultados anteriores, temos:

    sec ⁡ y = 1 - 1 5 = - 5

    Passo 5

  5. csc ⁡ y

Sabemos que csc ⁡ y = 1 sen ⁡ y , então, utilizando os resultados anteriores, temos:

csc ⁡ y = 1 2 5 = 5 2

Resposta

  1. 2 5
  2. - 1 5
  3. - 2
  4. - 5
  5. 5 2
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