Nem o teste da razão nem o teste da raiz ajudam quando lidamos com séries p. Experimente-os em

∑ n = 1 ∞ 1 n p

e mostre que nenhum dos dois testes nos dá informações sobre a convergência da série.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar o termo geral da nossa sequência, dado por:

a n = 1 n p

E o seu termo consecutivo,

a n + 1 = 1 ( n + 1 ) p

Vamos aplicar o teste da razão para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

lim n →  ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n →  ∞ ⁡ 1 ( n + 1 ) p ∙ n p 1 = lim n →  ∞ ⁡ n p ( n + 1 ) p

Simplificando os termos, e pelas propriedades de limites, obtemos:

lim n →  ∞ ⁡ n n + 1 p = l i m n →   ∞ n n + 1 p

Aplicando a regra de L’Hospital, temos:

l i m n →   ∞ n n + 1 p = 1 p   =   1

De acordo com o teste da razão, se o limite é maior ou igual a 1 a série diverge.

Vamos aplicar o teste da raiz para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

lim n →  ∞ ⁡ a n n = lim n →  ∞ ⁡ 1 n p n =   lim n →  ∞ ⁡ 1 n p n = 1  

Quando n tende ao infinito p n tende a zero, logo n p n tende para 1.

De acordo com o teste da raiz, se o limite é maior ou igual a 1 a série diverge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Diverge em ambos os testes da razão e da raiz.

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