Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 13
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Fala, pessoal! De boa?
A questão está pedindo pra gente determinar se:
É uma série que converge ou diverge. Temos alguns métodos para fazer isso, mas o enunciado já nos ajuda nos indicando qual método devemos usar: o Teste da Razão que, caso não se lembre, funciona assim. Calculamos o limite:
Se , a série irá divergir, e no caso de a série vai convergir, em resumo.
Bom, então só nos resta acharmos o valor desse limite. Bora lá!
Passo 2
Antes de calcularmos nosso limite, vamos definir nossas sequências:
Vamos achar substituindo por :
Colocando esses termos no nosso limite do teste da razão, teremos:
Então simplificamos e o :
Tirando do módulo:
Passo 3
E agora resolvemos o limite, como do jeito que está irá dar uma indeterminação, vamos colocar o em evidência:
E simplificar ele:
Passo 4
Agora sim podemos aplicar o limite, os termos que estão sobre tendem para zero e sobra só:
Como , a série converge absolutamente, e podemos dizer que ela é convergente.