Calcula a integral

∫ sen 3 ⁡ x x d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Aqui nos é pedido para que resolvamos uma integral.

A integral parece um tanto quanto complicada a princípio, mas irei lhe ajudar a sair dela.

Como temos aqui uma função trigonométrica, faz sentido analisarmos em algum momento utilizar de identidades trigonométricas. Isso é algo a ser feito em situações do tipo, uma substituição também pode ser bem-vinda.

Passo 2

Utilizando então uma substituição,

u = x

d u = 1 2 x d x → 2 d u = d x x

Agora vamos substituir!

∫ 2 sen 3 ⁡ u d u

Para resolver essa integral, vamos ter que utilizar algumas identidades trigonométricas!

∫ 2 sen 3 ⁡ u d u = ∫ 2 sen ⁡ u sen 2 ⁡ u d u =

= ∫ 2 sen ⁡ u ( 1 - cos 2 ⁡ u ) d u

Agora vamos resolver essa integral!

Passo 3

Para isso, vamos fazer outra substituição!

v = cos ⁡ u

d v = sen ⁡ u d u

Então a integral fica assim,

2 ∫ - 1 + v 2 d v

Resolvendo a integral temos,

2 ∫ - 1 + v 2 d v = - 2 v + v 3 3 + C

Passo 4

Agora vamos substituir v no resultado!

∫ 2 sen 3 ⁡ u d u = - 2 cos ⁡ u + cos 3 ⁡ u 3 + C

Agora vamos substituir u no resultado!

∫ sen 3 ⁡ x x d x = - 2 cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3 + C

Resposta

∫ sen 3 ⁡ x x d x = - 2 cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3 + C

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