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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 8

Calcula a integral

int (sen^3 sqrt(x))/(sqrt(x)) d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Aqui nos é pedido para que resolvamos uma integral.

A integral parece um tanto quanto complicada a princípio, mas irei lhe ajudar a sair dela.

Como temos aqui uma função trigonométrica, faz sentido analisarmos em algum momento utilizar de identidades trigonométricas. Isso é algo a ser feito em situações do tipo, uma substituição também pode ser bem-vinda.

Passo 2

Utilizando então uma substituição,

u = sqrt(x)

d u = (1)/(2 sqrt(x)) d x -> 2 d u = (d x)/(sqrt(x))

Agora vamos substituir!

int 2 sen^3 sqrt(u) d u

Para resolver essa integral, vamos ter que utilizar algumas identidades trigonométricas!

int 2 sen^3 sqrt(u) d u = int 2 sen sqrt(u) sen^2 sqrt(u) d u =

= int 2 sen sqrt(u) ( 1 - cos^2 u ) d u

Agora vamos resolver essa integral!

Passo 3

Para isso, vamos fazer outra substituição!

v = cos u

d v = sen u d u

Então a integral fica assim,

2 int - 1 + v^2 d v

Resolvendo a integral temos,

2 int - 1 + v^2 d v = - 2 v + (v^3)/(3) + C

Passo 4

Agora vamos substituir v no resultado!

int 2 sen^3 sqrt(u) d u = - 2 cos u + (cos^3 u)/(3) + C

Agora vamos substituir u no resultado!

int (sen^3 sqrt(x))/(sqrt(x)) d x = - 2 cos sqrt(x) + (cos^3 sqrt(x))/(3) + C

Resposta

int (sen^3 sqrt(x))/(sqrt(x)) d x = - 2 cos sqrt(x) + (cos^3 sqrt(x))/(3) + C

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