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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 7g

Calcule F^' (x) onde F (x) é igual a

(root(3)(x) + x)/(sqrt(x))

Passo 1

Fala pessoal, nosso objetivo é calcular F^' (x) onde

F (x) = (root(3)(x) + x)/(sqrt(x))

Para isso vamos usar a regra do quociente, que diz que

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Passo 2

F (x) = (root(3)(x) + x)/(sqrt(x))

Temos que:

f (x) = root(3)(x) + x

e

g (x) = sqrt(x)

Vamos agora só montar na fórmula:

F^' (x) = ((root(3)(x) + x)/(sqrt(x)))^'

= ((root(3)(x) + x) ' * (sqrt(x)) - (root(3)(x) + x) * (sqrt(x)) ')/((sqrt(x))^2)

Agora vamos derivar!

Passo 3

Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Assim:

f^' (x) = (root(3)(x) + x)^'

= (x^((1)/(3)) + x)^'

Aplicando,

f^' (x) = (1)/(3) * x^((1)/(3) - 1) + x^(1 - 1)

f^' (x) = (1)/(3) * x^((1 - 3)/(3)) + x^0

= (1)/(3) * x^((- 2)/(3)) + 1

Ajeitando,

f^' (x) = (1)/(3 root(3)(x^2)) + 1

Com g ' ( x ) , vamos usar a mesma regra:

g ' ( x ) = (sqrt(x))^'

= (x^((1)/(2)))^'

= (1)/(2) x^((1)/(2) - 1)

= (1)/(2 sqrt(x))

Passo 4

Agora é só substituir na expressão e pronto:

F^' (x) = ((root(3)(x) + x)/(sqrt(x)))^'

= (((1)/(3 root(3)(x^2)) + 1) * (sqrt(x)) - (root(3)(x) + x) * ((1)/(2 sqrt(x))))/(x)

Ajeitando,

F^' (x) = ((sqrt(x))/(3 root(3)(x^2)) + sqrt(x) - ((root(3)(x) + x)/(2 sqrt(x))))/(x)

= ((2 x + 6 x root(3)(x^2) - 3 root(3)(x^2) (root(3)(x) + x))/(6 root(3)(x^2) sqrt(x)))/(x)

Podemos escrever como uma única divisão assim,

= (2 x + 6 x root(3)(x^2) - 3 root(3)(x^2) (root(3)(x) + x))/(6 root(3)(x^2) sqrt(x)) * ((1)/(x))

Ajeitando de novo,

= (2 x + 6 x root(3)(x^2) - 3 root(3)(x^3) - 3 x root(3)(x^2))/(6 x root(3)(x^2) sqrt(x))

= (2 x + 3 x root(3)(x^2) - 3 x)/(6 x root(3)(x^2) sqrt(x))

= (- x + 3 x root(3)(x^2))/(6 x root(3)(x^2) sqrt(x))

Logo,

F^' (x) = (- 1 + 3 root(3)(x^2))/(6 root(3)(x^2) sqrt(x))

Resposta

F^' (x) = (- 1 + 3 root(3)(x^2))/(6 root(3)(x^2) sqrt(x))

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