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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 35

A taxa de desemprego U ( t ) varia com o tempo. A tabela (do Bureau of Labor Statistics) dá a porcentagem de desemprego na força de trabalho norte-americana de 1991 a 2000 .

  1. Qual o significado de U ´ ( t ) ? Quais são suas unidades?
  2. Construa a tabela de valores de U ´ ( t ) .

Passo 1

Fala galera!

Aqui temos uma tabela de valores de U ( t ) e precisamos de algumas informações sobre sua derivada:

  • Seu significado
  • Sua unidade
  • Uma tabela com seus valores

Vamos começar lembrando que a derivada é uma taxa de variação de uma grandeza. Nesta situação, a derivada U ' ( t ) é a taxa de variação da taxa de desemprego em um dado momento. Em outras palavras, quanto U ( t ) tende a variar do ano t em direção ao seguinte.

Vamos discutir mais isso no passo 2!

Pra calcular as derivadas, iremos supor que os números de desemprego não sofram uma variação violenta, pois assim conseguiremos calcular a tabela das derivadas.

A gente vai usar a definição de derivada que considera a derivada como a inclinação da reta tangente no ponto:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x

No entanto, sendo uma aproximação, nós também podemos usar outras 2 fórmulas pra calcular as derivadas assim. Nesta última consideramos um ponto de interesse x e um outro ponto um pouco maior x + ∆ x .

Na aproximação a seguir, consideramos o ponto de interesse x e um ponto um pouco MENOR x - ∆ x :

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x - f x - ∆ x ∆ x

E nessa última possibilidade, vamos considerar 2 pontos, um maior e outro menor que o nosso ponto de interesse:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x - ∆ x 2   ∆ x

Eu to te apresentando essas 3 formas de calcular, pois no primeiro e no último ano de que temos dados, vamos ter que fazer cálculos diferentes, por conta dos dados que temos disponíveis.

Agora vamos aos cálculos.

Passo 2

Respondendo a letra (a) então, é o tanto que a taxa de desemprego está variando no ano t . Se ela é positiva, a tendência é que vamos ter mais desemprego. Se ela é negativa, quer dizer que o desemprego está caindo.

Sua unidade é a razão entre as unidades de f ( t ) e t :

t a x a   d e   d e s e m p r e g o / t e m p o

Agora vamos às derivadas!

Passo 3

Pra calcular a derivada no ano de t = 1991 , nós não temos ponto antes, então não podemos fazer t - ∆ t . Só temos o dado no ponto e dados depois, então só podemos usar essa fórmula aqui:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x

Que nas nossas variáveis, fica:

U ' t = lim ∆ t → 0 ⁡ U t + ∆ t - U t ∆ t

Vamos considerar que t + ∆ t vai ser o ano de 1992, então ∆ x = 1 e:

U ' 1991 = U 1992 - U 1991 1 = 7,5 - 6,8

U ' 1991 = 0,7

Passo 4

Pro ano de t = 2000 , nós só temos o valor no ponto e no anterior, então temos que usar essa fórmula aqui:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x - f x - ∆ x ∆ x

Que nas nossas variáveis fica:

U ' t = lim ∆ t → 0 ⁡ U t - U t - ∆ t ∆ t

Vamos considerar que t - ∆ t vai ser o ano de 1999, então ∆ x = 1 e:

U ' 2000 = U 2000 - U 1999 1 = 4 - 4,2

U ' 2000 = - 0,2

Passo 5

Pra todos os outros pontos, nós temos o valor no ponto, no ano anterior e no ano seguinte. Então nós vamos usar a aproximação a seguir, que é mais precisa:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x - ∆ x 2   ∆ x

Nas nossas variáveis, fica:

U ' t = lim ∆ t → 0 ⁡ U t + ∆ t - U t - ∆ t 2   ∆ t

Pro ano t = 1992 , vamos fazer:

t - ∆ t = 1991

t + ∆ t = 1993

Então a derivada nesse ponto fica:

U ' 1992 = U 1993 - U 1991 2 = 6,9 - 6,8 2

U ' 1992 = 0,05

Pra todos os outros pontos, vamos fazer o mesmo esquema, usar um ponto imediatamente anterior e um imediatamente posterior e usar essa mesma fórmula. Então vou ser mais sucinta nos cálculos a partir de aqui:

Pro ano t = 1993

t - ∆ t = 1992

t + ∆ t = 1994

U ' 1993 = U 1994 - U 1992 2 = 6,1 - 7,5 2 = - 0,7

Pro ano t = 1994

t - ∆ t = 1993

t + ∆ t = 1995

U ' 1994 = U 1995 - U 1993 2 = 5,6 - 6,9 2 = - 0,65

Vou repetir a tabela pra gente não ficar tendo que subir a tela:

Pro ano t = 1995

U ' 1995 = U 1996 - U 1994 2 = 5,4 - 6,1 2 = - 0,35

Pro ano t = 1996

U ' 1996 = U 1997 - U 1995 2 = 4,9 - 5,6 2 = - 0,35

Pro ano t = 1997

U ' 1997 = U 1998 - U 1996 2 = 4,5 - 5,4 2 = - 0,45

Pro ano t = 1998

U ' 1998 = U 1999 - U 1997 2 = 4,2 - 4,9 2 = - 0,35

Pro ano t = 1999

U ' 1999 = U 2000 - U 1998 2 = 4 - 4,5 2 - 0,25

Ufa! Acabamos!

Passo 6

Juntando todas essas derivadas numa tabela, temos:

Resposta

a ) U ´ ( t ) o tanto que a taxa de desemprego está variando no ano t .

b )

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