Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 33
Seja e
Mostre que para todo em seus domínios. Podemos concluir a partir do Corolário 7 que é constante?
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão deu pra gente duas funções, sendo elas:
e
E precisamos provar a igualdade entre as suas derivadas. Ou seja, queremos mostrar que:
Além disso, temos que determinar se é constante ou não.
Vamos então fazer as derivadas de cada uma das funções e comparar para verificar se elas são iguais.
Vem comigo!
Passo 2
Primeiro, nós determinamos a primeira derivada da função . Quando, .
Sendo
Podemos reescrevê-la com expoente negativo, como:
E para fazer sua derivada, basta usar a regra do expoente. Assim:
Agora vamos olhar a função .
Como ela é uma função dada por partes, vamos fazer sua derivação também por partes.
Podemos começar determinando a primeira derivada da função . Quando . Sendo:
Sua derivação também será:
E para esse primeiro caso, já podemos concluir que:
Passo 3
Agora iremos determinar a primeira derivada da função . Quando .
Que também pode ser escrita como:
E lembrando que derivada de constante é sempre igual a zero e aplicando a regra do expoente no segundo termo, ficamos com:
Ou melhor:
E aqui também temos:
Passo 4
Agora perceba que
e não são definidas em . Se nós olharmos para :
E se olharmos :
Portanto, não é constante, porque possui múltiplos valores.
Resposta
Demonstração