Seja f x = 1 x e g x = 1 xs ex0 1 + 1 xs e0 Mostre que f ' x = g ' ( x ) para todo x em seus domínios. Podemos concluir a partir do Corolário 7 que f - g é constante?

Enunciado

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão deu pra gente duas funções, sendo elas:

E precisamos provar a igualdade entre as suas derivadas. Ou seja, queremos mostrar que:

Além disso, temos que determinar se é constante ou não.

Vamos então fazer as derivadas de cada uma das funções e comparar para verificar se elas são iguais.

Vem comigo!

Primeiro, nós determinamos a primeira derivada da função . Quando, .

Sendo

Podemos reescrevê-la com expoente negativo, como:

E para fazer sua derivada, basta usar a regra do expoente. Assim:

Agora vamos olhar a função .

Como ela é uma função dada por partes, vamos fazer sua derivação também por partes.

Podemos começar determinando a primeira derivada da função . Quando . Sendo:

Sua derivação também será:

E para esse primeiro caso, já podemos concluir que:

Agora iremos determinar a primeira derivada da função . Quando .

Que também pode ser escrita como:

E lembrando que derivada de constante é sempre igual a zero e aplicando a regra do expoente no segundo termo, ficamos com:

Ou melhor:

E aqui também temos:

Agora perceba que

e não são definidas em . Se nós olharmos para :

E se olharmos :

Portanto, não é constante, porque possui múltiplos valores.

Demonstração