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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 23

Seja f x = 2 - 3 x - 4 2 3 . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 0 - 3 . 2 3 x - 4 - 1 3 . 1 ⇒

f ' x = - 2 x - 4 - 1 3 ⇒

f ' x = - 2 x - 4 1 3 ⇒

f ' x = - 2 x - 4 3

Como f ' ( x ) não existe para x = 4 , assim temos um ponto crítico neste valor. Observe também que f ' x ≠ 0 , para todo x ∈ R . Assim, o único ponto crítico de f ocorre quando x = 4

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = 4 devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:

→ x < 4 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ x > 4 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

Logo, pelo teste da primeira derivada, em x = 4 temos um ponto de máximo relativo de f .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = 2 - 3 x - 4 2 3 . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = 2 - 3 x - 4 2 3 é crescente em - ∞ ,   4 , é decrescente em ( 4 ,   + ∞ ) , admite máximo relativo em x = 4 .

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