Calcule.

underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(ln x)

Passo 1

Vamos lá, aplicando o limite aqui ficamos com a indeterminação (oo)/(oo) , assim podemos aplicar L’Hospital, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial e da logarítmica natural:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

Aplicando:

(e^x)^' = e^x

(ln x)^' = (1)/(x)

Substituindo no limite:

underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(ln x) = underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/((1)/(x)) = underset(x -> + oo)(lim) x e^x

Passo 2

Vamos agora usar a propriedade da multiplicação dos limites:

underset(x -> + oo)(lim) x e^x = underset(x -> + oo)(lim) x * underset(x -> + oo)(lim) e^x

Então vamos calcular os dois limites separadamente:

underset(x -> + oo)(lim) x = oo

underset(x -> + oo)(lim) e^x = oo

Agora é só substituir no limite original e pronto:

underset(x -> + oo)(lim) x e^x = underset(x -> + oo)(lim) x * underset(x -> + oo)(lim) e^x = oo * oo = oo

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(ln x) = oo

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