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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 5c

Calcule.

underset(x -> 0 ⁺)(lim) x e^((1)/(x))

Passo 1

Vamos lá, aplicando o limite aqui ficamos com a indeterminação oo * 0 , vamos manipular o limite para aplicar L’Hospital:

underset(x -> 0 ⁺)(lim) x e^((1)/(x)) = underset(x -> 0 ⁺)(lim) (e^((1)/(x)))/((1)/(x))

Vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio e da função exponencial:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

Aplicando:

(e^((1)/(x)))^' = e^((1)/(x)) ((1)/(x))^' = e^((1)/(x)) (x^(- 1))^' = e^((1)/(x)) (- 1 x^(- 1 - 1)) = e^((1)/(x)) (- (1)/(x^2)) = (- e^((1)/(x)))/(x^2)

((1)/(x))^' = (x^(- 1))^' = (- 1 x^(- 1 - 1)) = - (1)/(x^2)

Substituindo no limite:

underset(x -> 0 ⁺)(lim) (e^((1)/(x)))/((1)/(x)) = underset(x -> 0 ⁺)(lim) ((- e^((1)/(x)))/(x^2))/(- (1)/(x^2)) = underset(x -> 0 ⁺)(lim) (- e^((1)/(x)))/(x^2) (- x^2) = underset(x -> 0 ⁺)(lim) e^((1)/(x)) = + oo

Resposta

underset(x -> 0 ⁺)(lim) x e^((1)/(x)) = + oo

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Mostre que, para todo x0 , x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 !sen ⁡ x Mostre que, para todo x ≠ 0 , sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 !x 7 7 ! Generalize tal resultado.
Suponha f derivável no intervalo aberto I . Prove que, se f for estritamente crescente em I , então f ' x ≥ 0 para todo x em I .
Seja f uma função tal que f ' ' ' x0 para todo x em a , b . Suponha que existe c em a , b tal que f ' ' c = f ' c = 0 . Prove que f é estritamente crescente em a , b .
Seja f x = 2 x - x 2 + 3 , x ∈ R .Verifique que f ' é contínua em R Verifique que f ' x ≠ 0 em R Tendo em vista que f ' 00 , conclua que f é estritamente crescente.(Sugestão: Veja Exercício 13 .)
Se f x = x k , onde k é um inteiro positivo ímpar, prove que f não tem extremos relativos.