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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 9

Prove que, para todo x > 0 , tem-se

  1. e^x > x + 1
  2. e^x > 1 + x + (x^2)/(2)

Passo 1

  1. Vamos considerar a expressão f (x) = e^x - x - 1

    2. Temos que:

    f (0) = e^0 - 0 - 1 = 1 - 1 = 0

    Vamos calcular f^' (x) :

    f^' (x) = (e^x - x - 1)^' = e^x - 1 - 0 = e^x - 1

    Agora vamos analisar o sinal de f^' (x) :

    f^' (x) > 0 para x > 0 , assim f (x) é estritamente crescente em [0 , + oo[ .

    Assim temos que:

    f (x) > 0 -> e^x - x - 1 > 0 -> e^x > x + 1

    Passo 2

  2. Vamos considerar a expressão g (x) = e^x - (1 + x + (x^2)/(2)) .

Temos que:

g (0) = e^0 - (1 + 0 + (0^2)/(2)) = 1 - (1) = 0

Vamos calcular g (x) :

g^' (x) = (e^x - (1 + x + (x^2)/(2)))^' = e^x - (0 + 1 + (2 x)/(2)) = e^x - 1 - x

Agora vamos analisar o sinal de g^' (x) :

g^' (x) > 0 para x > 0 , assim g (x) é estritamente crescente em [0 , + oo[ .

Assim temos que:

g (x) > 0 -> e^x - (1 + x + (x^2)/(2)) > 0 -> e^x > 1 + x + (x^2)/(2)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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