3) Calcule a área da região limitada pela elipse x = a cos t, y = b sen t, 0 ≤ t ≤2π, onde a > 0 e b > 0.

Passo 1

Bem, essa integração pode ser feita por realmente muitas maneiras. Sabemos Que a área de uma elipse é

A = a b π

Mas o exercício pede para que testemos o método de calcular áreas pelo teorema de green, então valos lá. A fórmula é

k =   ∮ γ x   d y  

Onde nosso γ   é descrito no enunciado como

x   =   a   c o s   t

  y   =   b   s e n   t

  0   ≤   t   ≤   2 π

Podemos então dizer que

d y = b cos ⁡ t d t

Passo 2

Vamos unir os dados na nossa integração

k =   ∮ γ x   d y  

k =   ∮ 0 2 π a cos ⁡ t b cos ⁡ t   d t

k =   a b ∮ 0 2 π cos 2 ⁡ t   d t

k = a b     .     1 2 t + s e n 2 t 2   0 2 π

k = a b   2 π + 0 2

k = a b π

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∮ γ x   d y   = a b π

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