Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 8.1 - Ex. 7
7) Suponha P (x, y) e Q (x, y) de classe C1 num aberto Ω de ℝ2. Prove que
É irrotacional se e somente se
para toda curva γ, orientada no sentido anti-horário e fronteira de umretângulo de lados paralelos aos eixos e contido em Ω.
Passo 1
Sabemos que pelo teorema de Green
Uma outra forma de escrever isso é na forma diferencial do Teorema de Stolkes ( Uma generalização em R³ do Green)
Logo se temos que um lado da igualdade é nula
Isso faz com que
Passo 2
E como estamos numa integral de superfície, estamos integrando uma função numa área, e áreas de superfície é sempre um cálculo com resultado positivo. Isso Força então que a função que estamos integrando seja nula
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Utilize a formula da área do teorema de Green no Exercicio abaixo para encontrar a áreas da região delimitada pela curva .
Nos Exercícios 1-4, verifique a conclusão do teorema de Green calculando ambos os lados das Equações 3 e 4 para o campo F = M i + N j . Tome os domínios de integração em cada caso como sendo o disco R
Nos Exercícios 19 e 20, encontre o trabalho realizado por F paramover uma partícula uma vez em sentido anti-horário ao redor dacurva dadaF = (4x – 2y)i + (2x – 4y)jC: A circunferência (x – 2)2 + (y –
Nos Exercícios 1-4, verifique a conclusão do teorema de Green calculando ambos os lados das Equações 3 e 4 para o campo F = M i + N j . Tome os domínios de integração em cada caso como sendo o disco R
Nos Exercícios 1-4, verifique a conclusão do teorema de Green calculando ambos os lados das Equações 3 e 4 para o campo F = M i + N j . Tome os domínios de integração em cada caso como sendo o disco R