8) Suponha P e Q de classe C1 em Ω = ℝ2 - {(0, 0), (1, 1)}. Suponha, ainda,

∂Q/∂x - ∂P/∂y = 0

Calcule

∮_γ (P dx + Q dy)

Sabendo que

∮γ1 P dx + Q dy = 1

e

∮ γ2 (P dx + Q dy) = 2

(γ1 e γ2 são orientadas no sentido horário e γ no sentido anti-horário.)

Passo 1

Essa questão é puramente Manipulação do TEOREMA DE GREEN que diz

∮ γ P d x + Q d y   = ∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

Contudo temos duas regiões dentro do nosso conjunto total que estão sendo excluídas, logo podemos reescrever nosso teorema como

∮ γ P d x + Q d y   + ∮ γ 1 P d x + Q d y   + ∮ γ 2 P d x + Q d y     = ∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

Nos estamos somando porque γ 1   e   γ 2   estão com rotação inversa de γ e isso é muito importante !!!! (Rotação anti-horário significa incluindo a região interior. Rotação Horaria significa excluindo a região interior )

Passo 2

Contudo o enunciado nos diz que

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0

∮ γ 1 P d x + Q d y = 1

e

∮ γ 2 P d x + Q d y = 2

Passo 3

Então aquela conta enorme se resume a

∮ γ P d x + Q d y   + 1 + 2   = 0

∮ γ P d x + Q d y   =   - 3

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∮ γ P d x + Q d y   =   - 3

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