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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 11

Seja C a curva definida por σ t = 2 cos ⁡ t   ,   1 + 2 sen ⁡ t . Determine uma equação da reta normal à curva no ponto 3 , 2

Passo 1

Antes de mais nada, vamos precisar saber qual o valor do parâmetro t que vai nos ajudar a montar essa equação de reta. Pra isso, note que o ponto em que a reta é normal é:

σ t = 2 cos ⁡ t   ,   1 + 2 sen ⁡ t = 3 , 2

Logo:

2 cos ⁡ t = 3

1 + 2 sen ⁡ t = 2

O que é o mesmo que:

cos ⁡ t = 3 2

sen ⁡ t = 1 2

E o valor de t que satisfaz as duas equações é:

t o = π 6

Passo 2

Bom, a equação de uma reta normal é dada por:

r t = P 0 + n → t

Onde P 0 é um ponto da reta, no caso P 0 = ( 3 , 2 ) , e n → é o vetor normal à curva no ponto dado, ou seja, seria ∇ σ t 0 = ∇ σ π 6 . Calculando o gradiente:

σ t = 2 cos ⁡ t   ,   1 + 2 sen ⁡ t

σ ' t = - 2 sen ⁡ t   ,   2 cos ⁡ t

E portanto:

σ ' π 6 = - 2 sen ⁡ π 6   ,   2 cos ⁡ π 6

σ ' π 6 = - 2 ∙ 1 2   ,   2 ∙ 3 2

σ ' π 6 = - 1   , 3

Passo 3

A equação da reta normal vai ser dada então por:

r t = σ ' π 6 t + σ π 6

r t = - 1   , 3 ∙ t + 3 , 2

r t = - t + 3   , 3 t + 2

Resposta

r t = - t + 3   , 3 t + 2

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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