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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 9

Se sigma^' (t) = (sen^2 (t) , 2 cos^2 (t)) e sigma (pi) = (0,0) , encontre sigma (t)

Passo 1

Bora lá galera. Seja:

sigma^' (t) = (sen^2 (t) , 2 cos^2 (t)) = (x^' (t) , y^' (t))

Pra achar sigma (t) basta achar as primitivas de x^' (t) e y^' (t) . Pra isso, vamos lembrar que:

[[sen^2 (t),=,(1)/(2),(1 - cos (2 t))],[cos^2 (t),=,(1)/(2),(1 + cos (2 t))]]

E logo:

int sen^2 (t) d t = (1)/(2) int 1 - cos (2 t) d t = (1)/(2) (t - (sin (2 t))/(2)) + C_1

int 2 cos^2 (t) d t = int 1 + cos (2 t) d t = t + (sin (2 t))/(2) + C_2

Entããão:

sigma (t) = ((t)/(2) - (sin (2 t))/(4) + C_1 , t + (sin (2 t))/(2) + C_2)

Passo 2

Pra fechar com chave de ouro, falta só determinar C_1 , C_2 . Pra isso, usamos a informação sigma (pi) = (0,0) do enunciado:

sigma (pi) = ((pi)/(2) - (sin (2 pi))/(4) + C_1 , pi + (sin (2 pi))/(2) + C_2) = (0,0)

sigma (pi) = ((pi)/(2) + C_1 , pi + C_2) = (0,0)

Logo:

{[[(pi)/(2) + C_1 = 0],[pi + C_2 = 0]])

{[[C_1 = - (pi)/(2)],[C_2 = - pi]])

E portanto:

sigma (t) = ((t)/(2) - (sin (2 t))/(4) - (pi)/(2) , t + (sin (2 t))/(2) - pi)

Resposta

sigma (t) = ((t)/(2) - (sin (2 t))/(4) - (pi)/(2) , t + (sin (2 t))/(2) - pi)

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