Se σ'(t) = (sen^2(t), 2, cos^2(t)) e sigma(pi) = (0,0) , encontre σ(t)

Passo 1

Bora lá galera. Seja:

σ ' t = sen 2 ⁡ t , 2 cos 2 ⁡ t = x ' t , y ' t

Pra achar σ t basta achar as primitivas de x ' t e y ' t . Pra isso, vamos lembrar que:

sen 2 ⁡ t = 1 2 1 - cos ⁡ 2 t cos 2 ⁡ t = 1 2 1 + cos ⁡ 2 t

E logo:

∫ sen 2 ⁡ t   d t = 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 2 t   d t = 1 2 t - sin ⁡ 2 t 2 + C 1

∫ 2 cos 2 ⁡ t   d t = ∫ 1 + cos ⁡ 2 t   d t = t + sin ⁡ 2 t 2 + C 2

Entããão:

σ t = t 2 - sin ⁡ 2 t 4 + C 1     ,   t + sin ⁡ 2 t 2 + C 2

Passo 2

Pra fechar com chave de ouro, falta só determinar C 1 , C 2 . Pra isso, usamos a informação σ π = 0,0 do enunciado:

σ π = π 2 - sin ⁡ 2 π 4 + C 1     , π + sin ⁡ 2 π 2 + C 2 = 0,0

σ π = π 2 + C 1     , π + C 2 = 0,0

Logo:

π 2 + C 1 = 0 π + C 2 = 0

C 1 = - π 2 C 2 = - π

E portanto:

σ t = t 2 - sin ⁡ 2 t 4 - π 2     ,   t + sin ⁡ 2 t 2 - π

Resposta

σ t = t 2 - sin ⁡ 2 t 4 - π 2     ,   t + sin ⁡ 2 t 2 - π

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