Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 7
Prove cada uma das propriedades, a seguir, da álgebra de matrizes:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Imagine três matrizes , e
Vamos usá-las para demonstrar todos os itens propostos. Tudo bem?
A soma de duas matrizes é dada por:
Ou seja, a soma de matrizes gera uma nova matriz com o mesmo tamanho das matrizes que a geraram e cada termo é a soma dos termos equivalentes nas matrizes originárias.
Assim, se fizermos agora a soma :
E chegamos ao mesmo resultado da soma . Legal!!! Já demonstramos o item (a). Vamos agora ao item (b), que pede . Vamos começar com a soma :
Somando a matriz :
Vamos tratar agora da soma . Como já calculamos precisamos agora somar a matriz :
Que é igual ao resultado de .
Passo 2
Vamos agora relembrar a multiplicação de uma matriz por um número:
Que é equivalente a multiplicar todos os coeficientes da matriz pelo número. O item (c) nos pede para demonstrar ) . Começando pelo termo do lado esquerdo da equação, já calculamos , então:
Se fizermos agora a multiplicação de cada matriz e depois somar:
Então:
Agora iremos ao item (d). Ele nos pede para demonstrar que . Já temos , então precisamos agora calcular :
Somando :
Passo 3
Nosso último passo será demonstrar as propriedades da multiplicação de matrizes. A primeira coisa que precisamos saber é que a ordem dos fatores é importante, ou seja, . Além disso, para realizar esta operação é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda. Esta operação é descrita por:
Ou você pode pensar que o termo da matriz é:
Sabendo disso, iremos ao item (e), que pede para mostrar que . Vamos lá?
Começando pela multiplicação :
Multiplicando por :
Vamos agora calcular:
Que podemos reescrever como:
Que é o mesmo resultado encontrado para .
Nosso último passo será demonstrar que . A multiplicação é dada por:
Vamos agora calcular as multiplicações e :
Somando :
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)