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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 8

Seja n ≥ 2 um natural dado. Prove que x n - 1 ≥ n x - 1 para todo x ≥ 1 .

(Sugestão: Verifique que f x = x n - 1 - n x - 1 é estritamente crescente em 1 , + ∞ .)

Passo 1

Vamos considerar a expressão f x = x n - 1 - n x - 1

Temos que:

f 1 = 1 n - 1 - n 1 - 1 = 1 - 1 - n 0 = 0

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x n - 1 - n x - 1 ' = n x n - 1 - 0 - n x 1 - 1 - 0 = n x n - 1 - n x 0 = n x n - 1 - n

Agora vamos analisar o sinal de f ' x :

f ' x > 0 para x > 1 , com n ≥ 2 , assim f x é estritamente crescente em 1 , + ∞ .

Assim temos que:

f x ≥ 0 → x n - 1 - n x - 1 ≥ 0 → x n - 1 ≥ n x - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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