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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 5a

Calcule.

underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(x^3)

Passo 1

Vamos lá, aplicando o limite aqui ficamos com a indeterminação (oo)/(oo) , assim podemos aplicar L’Hospital, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio e da função exponencial:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

Aplicando:

(e^x)^' = e^x

(x^3)^' = 3 x^(3 - 1) = 3 x^2

Substituindo no limite:

underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(x^3) = underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(3 x^2)

Passo 2

Continuamos com a mesma indeterminação, vamos aplicar L’Hospital novamente:

(3 x^2)^' = 2 * 3 x^(2 - 1) = 6 x

underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(x^3) = underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(3 x^2) = underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(6 x)

Passo 3

Ainda continuamos com a indeterminação, vamos aplicar mais uma vez:

(6 x)^' = 6 x^(1 - 1) = 6 x^0 = 6 * 1 = 6

underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(x^3) = underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(3 x^2) = underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(6 x) = underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(6) = + oo

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (e^x)/(x^3) = + oo

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