Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 15
Seja uma função tal que para todo em . Suponha que existe em tal que . Prove que é estritamente crescente em .
Passo 1
Vamos lá, vamos pegar a hipótese que é estritamente crescente em .
Como e no nosso intervalo, temos que é uma função crescente nesse intervalo.
Como então para valores de é negativa e para valores é positiva, ou seja:
em e em
Logo, é estritamente decrescente em e estritamente crescente em .
Passo 2
E sabendo que , temos também que:
em e em
Já que para , decresce até e para cresce a partir de .
Isso significa que em todo o nosso intervalo ( para ), o que faz com que a função nunca decresça!
Assim, como é contínua, será estritamente crescente em e em , assim também será estritamente crescente em.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)