Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 21
Seja
Em que é um numero real arbitrário.
a)encontre .
b)Use um argumento indutivo para mostrar que:
c)Determine .
d)Observe que, se você escolher , então a matriz nesse problema é igual a matriz no problema 19(f). Usando a matriz do problema 19(f), forme o produto com A matriz resultante é a mesma que a matriz fundamental no problema 19(e)? Se não for, explique a discrepância.
Passo 1
a) Aplicando a multiplicação simples na nossa matriz , temos:
Para :
Para :
Para :
b)Após resolvermos letra (a) perceba que é uma sequencia bem intuitiva oque acontece com ela e com progressão do expoente de.
Utilizando a matriz , iremos somar mais uma unidade ao expoente e calcularemos o resultado, o esperado que seja algo muito parecido com a letra (a) mas com apenas letras:
Somando mais uma unidade:
Note que resultado a multiplicação segue a lógica, já notada anteriormente no item (a), portanto o argumento é matematicamente intuitivo.
Passo 2
c)Para determinando :
Temos que uma exponencial de uma matriz quadrada é definida por:
Em que é a matriz identidade.
E executar este tipo de formula para uma matriz diagonal é dado por:
Utilizando o mesmo conceito temos:
Passo 3
d)Temos que a matriz é:
Aplicando o produto de , antes disso assumiremos ,teremos:
Com base na forma de , é a matriz fundamental associada as soluções:
Sabemos que a matriz fundamental é formada é associada as soluções e tendo como:
Oque é o oposta do problema 19, por ser:
Resposta
a)
b)
c)
d)