Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.5 - Ex. 7
Encontre a solução do problema de condução de calor
Passo 1
A equação de condução de calor e as condições de contorno especificadas são
homogêneas. Consideramos soluções da forma
A equação diferencial parcial resulta em:
Dividindo os dois lados da equação diferencial pelo produto , obtemos:
Como os dois lados da equação resultante são funções de variáveis diferentes, segue-se que:
Portanto, e são soluções das equações diferenciais ordinárias:
e
A solução geral da equação espacial é:
.
As condições iniciais são:
E então:
Passo 2
As autofunções são:
com autovalores
Então, obtemos a família de equações
As soluções são:
As soluções fundamentais das EDPs são:
A solução geral é:
Da condição inicial , temos:
Então, e todos os outros
A solução do problema de condução de calor é: