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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 7

Em cada um dos Problemas 7 e 8, expresse a solução geral do sistema de equações dado em termos de funções reais.

7.

X ' = 1 0 0 2 1 - 2 3 2 1 X

Passo 1

A primeira coisa que deve ser feita aqui é determinar a solução desse sistema!

Montando a matriz dos coeficientes A baseado no sistema então, obteremos:

A = 1 0 0 2 1 - 2 3 2 1

Agora devemos buscar os autovalores dela!

Passo 2

AUTOVALORES:

Os autovalores λ de uma matriz são do tipo:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair λ na diagonal principal da matriz A , veja:

det ⁡ 1 - λ 0 0 2 1 - λ - 2 3 2 1 - λ = 0

O determinante de matriz 3x3 é um pouco mais chato que o 2x2. Aqui você tem que repetir as duas primeiras colunas e fazer aquele esquema de multiplicação de diagonais, se lembra?

  ⁡ 1 - λ 0 0 2 1 - λ - 2 3 2 1 - λ 1 - λ 0   2 1 - λ   3 2   = 0     →

1 - λ 3 + 4 1 - λ = 0

Simplificando isso aí...

1 - λ 1 - λ 2 + 4 = 0   →

Essa equação só pode ser 0 quando...

1 - λ = 0       o u         1 - λ 2 + 4 = 0

Então, se a solução dessa equação é um desses valores aqui:

λ 1 = 1 ,             λ 2 = 1 ± 2 i      

Onde i é o número imaginário - 1 .

O conjunto de soluções fundamentais x k para cada um deles vão ser:

  • Para o λ 1 que é real e único...

    • x 1 = v 1 e λ 1 t

  • Para λ 2 que é um número complexo conjugado...

x 2 = e a t α → cos ⁡ b t - β → sin ⁡ b t

x 3 = e a t α → sin ⁡ b t + β → cos ⁡ b t

a e b vem do autovalor complexo:

λ = a ± b i

No nosso caso:

λ = ± i             →                 a = 0             e         b = 1

Portanto...

x 2 = α → cos ⁡ t - β → sin ⁡ t

x 3 = α → sin ⁡ t + β → cos ⁡ t

Já α → e β → vem do autovetor v → complexo ( α → é a parte real e β → o imaginário). Vamos então determinar todos esses autovetores v → !

Passo 3

AUTOVETOR 1 - REAL:

A - λ 1 I v 1 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

a b c

Onde a , b e c são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

A - λ 1 I a b c = 0

Lembre-se de que menos λ I nada mais é do que subtrair λ da diagonal principal:

1 - λ 1 0 0 2 1 - λ 1 - 2 3 2 1 - λ 1 a b c = 0

Como λ 1 = 1 ...

0 0 0 2 0 - 2 3 2 0 a b c = 0   →

Resolvendo esse produto matricial aí...

0 = 0 2 a - 2 c = 0 3 a + 2 b = 0

Das duas últimas equações...

2 a = 2 c   →         c = a

E...

2 b = - 3 a       →             b = - 3 a 2

Se escolhermos a = 2 ...

v 1 = 2 - 3 2

Passo 4

AUTOVETOR 2 - COMPLEXO:

Agora sim vamos ver quem são aqueles α e β que te fale ali no passo retrasado! Mas não s e preocupe, a forma de se resolver basicamente é a mesma (a diferença é que são números complexos agora!):

A - λ 2 I v 2 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

a b c

Onde a , b e c são os valores complexos das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

A - λ 2 I a b c = 0

Lembre-se de que menos λ I nada mais é do que subtrair λ da diagonal principal:

1 - λ 2 0 0 2 1 - λ 2 - 2 3 2 1 - λ 2 a b c = 0

Como λ 2 = 1 ± 2 i (por vias de cálculo, podemos trabalhar apenas com o lado positivo, oi seja, λ 2 = 1 + 2 i )...

- 2 i 0 0 2 - 2 i - 2 3 2 - 2 i a b c = 0   →

Resolvendo esse produto matricial aí...

- 2 i a = 0 2 a - 2 i b - 2 c = 0 3 a + 2 b - 2 i c = 0

Da primeira equação...

a = 0

Da segunda...

2 a - 2 i b - 2 c = 0             →           c = - i b

E agora escolher algum valor para b , tipo b = 1 , perceba que a = 0 . Então...

c = - i

Ou seja...

v 2 = 0 1 - i

Separando esse vetor em parte real e parte complexa...

v 2 = 0 1 0 + 0 0 - 1 i

A parte real é o α :

α → = 0 1 0

Já a parte imaginária...

β → = 0 0 - 1

Passo 5

Logo, as três soluções fundamentais serão:

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = α → cos ⁡ 2 t - β → sin ⁡ 2 t

x 3 = α → sin ⁡ 2 t + β → cos ⁡ 2 t

Substituindo...

x 1 = 2 - 3 2 e t

x 2 = e t 0 1 0 cos ⁡ 2 t - 0 0 - 1 sin ⁡ 2 t

x 3 = e t 0 1 0 sin ⁡ 2 t + 0 0 - 1 cos ⁡ 2 t

A solução final é então dada pela expressão:

x y z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3   →

x y z = c 1 2 - 3 2 e t + c 2 e t 0 1 0 cos ⁡ 2 t - 0 0 - 1 sin ⁡ 2 t + c 3 e t 0 1 0 sin ⁡ 2 t + 0 0 - 1 cos ⁡ 2 t       →

x y z = c 1 2 - 3 2 e t + c 2 e t 0 1 0 cos ⁡ 2 t - c 2 e t 0 0 - 1 sin ⁡ 2 t + c 3 e t 0 1 0 sin ⁡ 2 t + c 3 e t 0 0 - 1 cos ⁡ 2 t     →

x = 2 c 1 e t y = - 3 c 1 e t + c 2 e t cos ⁡ 2 t + c 3 e t sin ⁡ 2 t z = 2 c 1 e t + c 2 e t sin ⁡ 2 t - c 3 e t cos ⁡ 2 t

Resposta

x = 2 c 1 e t y = - 3 c 1 e t + c 2 e t cos ⁡ 2 t + c 3 e t sin ⁡ 2 t z = 2 c 1 e t + c 2 e t sin ⁡ 2 t - c 3 e t cos ⁡ 2 t

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