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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 27

27. Vamos indicar, nesse problema, como mostrar que u ( t ) e v ( t ) , dados pelas Eqs. (17), são linearmente independentes. Sejam r 1 =   λ   +   i μ   e r - 1   =   λ   –   i m um par de autovalores conjugados da matriz de coeficientes A   da Eq. (1); sejam ξ 1   =   a   +   i b e ξ   - 1 =   a   –   i b os autovetores associados. Lembre-se de que foi dito na Seção 7.3 que dois autovalores diferentes têm autovetores linearmente independentes, de modo que, se r 1 ≠   r - 1 , então ξ 1 e ξ   - 1 são linearmente independentes.

A - Vamos mostrar primeiro que a e b são linearmente independentes. Considere a equação c 1 a   + c 2 b   =   0 . Expresse a e b em função de ξ 1 e de ξ   - 1 , e depois mostre que ( c 1   –   i c 2 )   ξ 1 +   c 1 +   i c 2   ξ   - 1 = 0.

B - Mostre que c 1   –   i c 2 = 0 e c 1 +   i c 2 = 0 , e que, portanto, c 1   =   0 e c 2   =   0 . Em consequência, a e b são linearmente independentes.

C - Para mostrar que u ( t ) e v ( t ) são linearmente independentes, considere a equação c 1 u ( t 0 )   + c 2 v ( t 0 )   =   0 , em que t 0 é um ponto arbitrário. Reescreva essa equação em termos de a e b , e depois prossiga como no item (b) para mostrar que c 1   =   0 e c 2   =   0 . Logo, u ( t )   e v ( t ) são linearmente independentes no ponto arbitrário t 0 . Portanto, são linearmente independentes em qualquer ponto e em qualquer intervalo.

Passo 1

L e t r a   A :

Beleza! Então vamos começar aqui escrevendo os nossos autovetores complexos...

ξ 1   =   a   +   i b

ξ   - 1 =   a   –   i b

Para termos uma melhor ideia do que fazer. Veja que podemos somar as duas equações de cima onde a gente vai encontrar:

ξ 1 + ξ   - 1 = 2 a

Se multiplicarmos a equação de baixo por - 1 e somarmos com a de baixo, podemos chegar nessa outra equação aqui:

ξ 1 - ξ   - 1 = 2 i b

Da primeira equação, tiramos que...

a = ξ 1 + ξ   - 1 2

Da segunda equação, entretanto...

b = ξ 1 - ξ   - 1 2 i

Podemos multiplicar por - i em cima e em baixo...

b = - i ξ 1 + i ξ   - 1 - 2 i 2

b = - i ξ 1 + i ξ   - 1 2

Beleza! Então, substituindo nessa equação que ele nos deu:

c 1 a   + c 2 b   =   0     →

c 1 ξ 1 + ξ   - 1 2   + c 2 - i ξ 1 + i ξ   - 1 2   =   0       →

c 1 ξ 1 + c 1 ξ   - 1 2   + - c 2 i ξ 1 + c 2 i ξ   - 1 2   =   0       →

Ou seja...

c 1 ξ 1 + c 1 ξ   - 1   - c 2 i ξ 1 + c 2 i ξ   - 1   =   0       →

c 1 ξ 1 + c 1 ξ   - 1   - c 2 i ξ 1 + c 2 i ξ   - 1   =   0       →

c 1 - c 2 i ξ 1 + c 1 + c 2 i ξ   - 1 = 0

Viu só!

Passo 2

L e t r a   B :

Agora vamos provar que a é linearmente independente de b .

Dessa última equação que chegamos no passo anterior, podemos passar a expressão de ξ   - 1 pro outro lado...

c 1 - c 2 i ξ 1 + c 1 + c 2 i ξ   - 1 = 0       →

c 1 - c 2 i ξ 1 = - c 1 + c 2 i ξ   - 1

ξ 1 = - c 1 + c 2 i c 1 - c 2 i ξ   - 1

Supondo que c 1 - c 2 i seja diferente de 0 , podemos passa-lo dividindo...

  a   +   i b = - c 1 + c 2 i c 1 - c 2 i a   –   i b       →

Observe que estou substituindo as expressões dos autovalores ξ 1 e ξ   - 1 também. Assim...

a   +   i b = - a c 1 + c 2 i c 1 - c 2 i + c 1 + c 2 i c 1 - c 2 i i b     →

ORA! Dois números complexos, só são iguais se tanto a parte real quanto a imaginária forem iguais, isto é:

c 1 + c 2 i c 1 - c 2 i = - 1

c 1 + c 2 i c 1 - c 2 i = 1

Ora! Sabemos que 1 e - 1 não são a mesma coisa:

1 ≠ - 1

Como chegamos a um absurdo, isso significa que a nossa hipótese inicial de que c 1 - c 2 i é diferente de zero:

ξ 1 = - c 1 + c 2 i c 1 - c 2 i ξ   - 1

Ou seja... Ele deve ser 0 . Fazendo a mesma coisa, a gente descobre que c 1 + c 2 i também deve ser 0 :

c 1 - c 2 i = 0                   e                   c 1 + c 2 i = 0

Dessas duas aí, a gente conclui que:

2 c 1 = 0     →               c 1 = 0

c 2 = 0

Então...

c 1 a   + c 2 b   =   0

a   e   b de fato devem ser Linearmente independentes!

Passo 3

L e t r a   C :

Agora temos que provar que a combinação de duas soluções u e v também são linearmente independentes:

c 1 u ( t 0 )   + c 2 v ( t 0 )   =   0

O que significa dizer que c 1 e c 2 também deve ser 0 . Sabemos que a solução dado autovalores imaginários é assim:

c 1 e λ t 0 a cos ⁡ μ t 0 + b sin ⁡ μ t 0   + c 2 e λ t 0 a sin ⁡ μ t 0 - b cos ⁡ μ t 0   =   0     →

Como a exponencial não pode ser 0 , ela já vai em bora:

c 1 a cos ⁡ μ t 0 + c 1 b sin ⁡ μ t 0   + c 2 a sin ⁡ μ t 0 - c 2 b cos ⁡ μ t 0   =   0     →

cos ⁡ μ t 0 c 1 a - c 2 b + sin ⁡ μ t 0 c 1 b + c 2 a   =   0     →

Como o cosseno e o seno são duas funções diferentes de 0 para um t 0 qualquer (no geral neh) então...

c 1 a - c 2 b = 0

c 1 b + c 2 a = 0

Como a e b são linearmente independentes, então...

c 1 = 0       e             c 2 = 0

Provando que as duas soluções...

c 1 u ( t 0 )   + c 2 v ( t 0 )   =   0

Também serão linearmente independentes, saca?

Resposta

Questões de demonstração.

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