Seja onde é a função cujo gráfico é mostrado.

(a) Calcule e .

(b) Estime , e .

(c) Em que intervalo está crescendo?

(d) Onde tem um valor máximo?

(e) Faça um esboço de gráfico de .

(f) Use o gráfico da parte (e) para esboçar o gráfico de . Compare com o gráfico de .

Primeiro vamos calcular e .

Como e a integral dá a área do gráfico, temos para :

Como os limites de integração são os mesmos, a área abaixo de ente e é , logo:

Agora para , temos:

Olhando para o gráfico de , vemos que é uma função ímpar, então a área abaixo de entre e é igual a área abaixo de entre e ... com isso, podemos dizer que uma área cancela a outra, portanto pela simetria:

Tranquilo até aqui?

Agora vamos estimar , e a partir de uma estimativa de área.

Para :

Para temos que a área está próxima à área do triângulo de base e altura de modo que:

Para , vamos fazer a mesma análise:

Podemos escrever como:

O valor de já temos e a área abaixo de entre e pode ser aproximada pela área de um trapézio de altura , base maior e base menor .

Show?

Para estimar , fazemos:

Ou seja:

O valor de já temos, e a área abaixo de entre e pode ser aproximado por um triangulo de base e altura .

Bacana, não é?

Para determinar o intervalo crescente de temos que lembrar que é a área abaixo de . Ou seja, está crescendo em pois com o crescimento de nesse intervalo, nós continuamos adicionando mais área. A partir de a área está abaixo do eixo , então a área é negativa, então descresce.

Portanto, Temos máximo no momento em que não temos mais adição de área e passamos a ter subtração de área, ou seja, temos máximo em .

Maravilha!

Esboçando o gráfico de , a partir do que discutimos no passo anterior, temos:

Estamos quase no fim!

Para determinar o gráfico de , temos que lembrar da propriedade do teorema fundamental do cálculo:

Então se:

Temos que:

O gráfico de é o mesmo gráfico de . Isso confirma o Teorema fundamental do cálculo.

É isso! O que achou? Responde Aí!