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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 6h

6. Calcule

h ) int ( sin x - cos x )^2 d x

Passo 1

Primeiro, precisamos fazer a distributiva agora, sendo da forma (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2

int ( sin x - cos x )^2 d x = int (sin^2 x - 2 sin x cos x + cos^2 x) d x =

int (sin^2 x + cos^2 x - 2 sin x cos x) d x

Passo 2

Sabemos que pela identidade trigonométrica sin^2 x + cos^2 x = 1 . Então vamos substituir,

int (sin^2 x + cos^2 x - 2 sin x cos x) d x = int (1 - 2 sin x cos x) d x

Vamos usar, também, a identidade trigonométrica sin 2 x = 2 sin x cos x .

int (1 - 2 sin x cos x) d x = int (1 - sin 2 x) d x

Passo 3

Precisamos lembrar que, int c d x = c x + k e int sin alpha x d x = - (1)/(alpha) cos alpha x + k . Sendo c , a e k constantes.

int (1 - sin 2 x) d x = x - (- (1)/(2) cos 2 x) + k = x + (1)/(2) cos 2 x + k

Resposta

Portanto, temos que

int ( sin x - cos x )^2 d x = x + (1)/(2) cos 2 x + k

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int (x^3 + 5 x – 7) d x
Determine a integral definida: int (2 - x)^(3 // 5) d x
Determine a integral definida: int c o s s e c^2 pi s d s
Determine a integral indefinida: int ( 5^s + s^5 ) d s
Determine a integral definida: int (theta d theta)/(( 7 + theta ² )^((1)/(2))) ²