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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 10

Sejam u → e v → vetores de R 2 . Dizemos que u → e v → são linearmente independentes se, quaisquer que sejam os reais α e β , se α u → + β v → = 0 → , então α = β = 0 . Prove que u → = u 1 , u 2 e v → = v 1 , v 2 são linearmente independentes se e somente se u 1 u 2 v 1 v 2 ≠ 0 .

Passo 1

O enunciado nos fornece dois vetores u → = u 1 , u 2 e v → = v 1 , v 2 linearmente independentes e nos pede para mostrar que devemos ter u 1 u 2 v 1 v 2 ≠ 0 .

E vice-versa! Se tivermos u 1 u 2 v 1 v 2 = 0 devemos mostrar que u → e v → são linearmente independentes (LI). Este “vice-versa” é necessário devido ao “se e somente se” que aparece no enunciado. Lembre-se então: “se e somente se” = “vice-versa”!

Vamos deixar anotado aqui que u 1 u 2 v 1 v 2 = u 1 v 2 - u 2 v 1 .

Passo 2

Inicialmente, vamos admitir que u → e v → são L.I.... Mas o que raios significa isto? Bem, para todos os termos práticos, afirmar que u → e v → são L.I. significa que os vetores não tem a mesma direção. Só isso. Ou seja, sendo c uma constante,

u → ≠ c v →

A equação acima é vetorial! Ou seja, ela representa na verdade 2 equações:

u 1 ≠ c v 1

u 2 ≠ c v 2

Com esta informação em mãos, vamos agora verificar o valor de u 1 u 2 v 1 v 2 :

u 1 u 2 v 1 v 2 = u 1 v 2 - u 2 v 1 ≠ c v 1 v 2 - c v 2 v 1 ⏟ = 0

Assim, mostramos que, se u → e v → são L.I., então u 1 u 2 v 1 v 2 ≠ 0 .

Passo 3

Agora, vamos mostrar o “vice-versa”!

Seja u 1 u 2 v 1 v 2 ≠ 0 . Temos então

u 1 v 2 - u 2 v 1 ≠ 0

Ou, ainda,

u 1 v 2 ≠ u 2 v 1

O que fazer agora? Bem, vamos SUPOR por um momento o seguinte: “ u → e v → NÃO SÃO L.I.”. Como já vimos, isto implicaria que u → = c v → , ou seja

u 1 = c v 1

u 2 = c v 2

Substituindo na desigualdade acima, obtemos

c v 1 v 2 ≠ c v 2 v 1

O que é um absurdo!! É obvio que os lados da equação são iguais!! Claramente há algo errado, mas, o que pode ser? Bem, tudo se deve à SUPOSIÇÃO que fizemos. A suposição de que “ u → e v → NÃO SÃO L.I.” claramente não nos levou a nada verdadeiro. Logo, esta suposição é falsa. Ou seja: se u 1 u 2 v 1 v 2 ≠ 0 , então u → e v → só podem ser L.I.!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule a norma do vetor dado. v → = 1 2 , 1 3
Sejam u → , v → dois vetores quaisquer do R n . Verifique que u → - v → ≥ u → - v →
Seja u → = u 1 , u 2 , u 3 , … , u n um vetor do R n( n ≥ 2 ) . Mostre que u → ≥ u i ,i = 1,2 , … , n .
Sejam u → , v → dois vetores quaisquer do R n . Verifique que u → - v → ≥ u → - v →
Sejam u → , v → , w → vetores do R n tais que w → = αu → + βv → com α e β reais. Suponha u → e v → unitários ( u → = 1 e v → = 1 ) e ortogonais. Prove que α = u → ⋅ w → e β = v → ⋅ w → .