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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 6

Seja f x , y = a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + m ( a ,   b ,   c , d , e ,   m constantes) e seja ( x 0 ,   y 0 ) um ponto crítico de f . Prove que, para todo ( h ,   k ) .

f x 0 + h ,   y 0 + k - f x 0 ,   y 0 = a h 2 + b h k + c k 2

Passo 1

Perceba que estamos nas hipóteses da questão anterior, então

x , y -   f x 0 , y 0 =     + 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x - ,   y - x - x 0 2 + 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y x - ,   y - x - x 0 y - y 0 +   ∂ 2 f ∂ y 2 x - ,   y - y - x 0 2

Calculando as derivadas,

∂   f ∂ x   x , y = 2 a x + b y + d    

  ∂ 2 f ∂ x 2 x , y =     2 a            

    ∂   f ∂ y   x , y = b x + 2 c y + e      

  ∂ 2 f ∂ y 2 x , y = 2 c    

    ∂ 2 f ∂ x ∂ y   x , y = b

Substituindo,

f x , y -   f x 0 , y 0 =     1 2   2 a x - x 0 2 + 2 b x - x 0 y - y 0 + 2   b y - x 0 2 =   a x - x 0 2 + b x - x 0 y - y 0 +   b y - x 0 2

Logo,

f x + h , y + k -   f x 0 , y 0 =   a h 2 + b h k +   b k 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f ( x , y ) de classe C 2 no aberto A ⊂ R 2 e seja ( x 0 , y 0 ) um ponto de A . Seja o polinômio P x , y = a x - x 0 + b y - y 0 + c , com a , b e c constantes. Suponha que existam M0 e uma bola
Sejam f x , y = e x + 5 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de ( 0,0 ) b) Avalie o erro para a aproximação e x + 5 y ≈ P 1 x , y Para x = 0,01 e y = 0,01
Sejam f ( x , y ) = x 3 + y 3 - x 2 + 4 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de (1,1).b) Avalie o erro que se comete na aproximação do item a).(Sugestão. Utilize o Exercíci
Sejam f x , y = e x + 5 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de ( 0,0 ) Mostre que para todo ( x , y ) com x + 5 y1 e x + 5 y - P 1 x , y3 2 x + 5 y 2
Seja P 2 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 2 de f x , y = x sin ⁡ y → x 0 ,y 0 = 0,0 Mostre que f x , y - P 2 x , yy 2 2 x + y 3 ,x1