Seja f(x, y) = a\*x^2 + b\*x\*y + c\*y^2 + d\*x + e\*y + m (a, b, c, d, e, m constantes) e seja (x_0, y_0) um ponto crítico de f . Prove que, para todo (h, k) .

f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀, y₀) = a\*h^2 + b\*h\*k + c\*k^2

Passo 1

Perceba que estamos nas hipóteses da questão anterior, então

x , y -   f x 0 , y 0 =     + 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x - ,   y - x - x 0 2 + 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y x - ,   y - x - x 0 y - y 0 +   ∂ 2 f ∂ y 2 x - ,   y - y - x 0 2

Calculando as derivadas,

∂   f ∂ x   x , y = 2 a x + b y + d    

  ∂ 2 f ∂ x 2 x , y =     2 a            

    ∂   f ∂ y   x , y = b x + 2 c y + e      

  ∂ 2 f ∂ y 2 x , y = 2 c    

    ∂ 2 f ∂ x ∂ y   x , y = b

Substituindo,

f x , y -   f x 0 , y 0 =     1 2   2 a x - x 0 2 + 2 b x - x 0 y - y 0 + 2   b y - x 0 2 =   a x - x 0 2 + b x - x 0 y - y 0 +   b y - x 0 2

Logo,

f x + h , y + k -   f x 0 , y 0 =   a h 2 + b h k +   b k 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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