Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.5 - Ex. 80
Seja a reta que passa pela origem e pelo ponto (1, 2, 6) e (2, 4, 8). Seja a reta de interseção dos planos e , onde é o plano e é o plano que passa pelos pontos (3, 2, -1), (0, 0, 1) e (1, 2, 1). Encontre a distância entre e .
Passo 1
O vetor de é .
Pra achar o vetor de vai dar um trabalhinho...
Vamos partir dos planos. O vetor é um vetor normal ao plano . Vamos achar um para o agora.
Bom, ele passa pelos pontos , então podemos tirar dois vetores paralelos daqui: . Pra achar o normal é só fazer que encontramos .
Passo 2
Mas, para acharmos o vetor da reta (paralelo), vamos achar um vetor que é perpendicular aos vetores dos dois planos. É só fazer:
A gente encontra o vetor:
Que é o vetor da reta.
Agora a gente precisa escrever dois planos paralelos que passam por essas retas.
O vetor é normal, então vamos fazer o produto vetorial (de novo!) entre os vetores das retas...
Passo 3
Isso vai dar:
Que vai ser o vetor dos nossos planos.
Eles passam pelos pontos das retas, então é só substituir na equação do plano e encontramos o .
Ficamos com os planos:
e
Passo 4
Agora nós substituímos na fórmula da distância entre planos paralelos...
Essa é a distância entre as retas😊